Mit der Spatial Analyst-Lizenz verfügbar.
Die Fuzzy-Logik kann als Überlagerungsanalyseverfahren für herkömmliche Überlagerungsanalyseanwendungen verwendet werden, z. B. Standortwahl und Eignungsmodelle.
Die grundlegende Überlegung bei der Fuzzy-Logik besteht darin, dass bei Attributen und in der Geometrie räumlicher Daten Ungenauigkeiten auftreten. Die Fuzzy-Logik bietet Verfahren für beide Typen von Ungenauigkeiten. Im Zusammenhang mit Überlagerungsanalysen konzentriert sich die Fuzzy-Logik jedoch auf Ungenauigkeiten in den Attributdaten. Die beiden Hauptbereiche, in denen Ungenauigkeiten in Attributdaten entstehen, sind die Definition der Klassen und die Messung des Phänomens. Beide Quellen von Ungenauigkeiten, insbesondere bei der Definition der Klassen, können Ungenauigkeiten beim Zuweisen von Zellen zu bestimmten Klassen verursachen.
Die Definition der Klassen in einer Klassifizierung und die Ungenauigkeit beim Zuweisen von Phänomenen zu Klassen können sich auf die Entscheidungsfindung auswirken. Die Fuzzy-Überlagerungswerkzeuge unterstützen Entscheidungsträger dabei, hinsichtlich solcher Ungenauigkeiten Entscheidungen zu treffen. Die Fuzzy-Logik konzentriert sich auf die Modellierung der Ungenauigkeiten von Klassengrenzen.
Die Werkzeuge Gewichtete Überlagerung und Gewichtete Summe basieren auf genau definierten Mengen, in denen jede Zelle einer Klasse angehört oder nicht angehört. Die Fuzzy-Logik ist speziell auf Situationen ausgerichtet, in denen die Grenzen zwischen Klassen nicht klar zu erkennen sind. Anders als bei klar definierten Mengen wird in der Fuzzy-Logik nicht die Frage der Zugehörigkeit in einer Klasse gestellt, sondern sie gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass das Phänomen ein Element einer Menge (oder Klasse) ist. Die Fuzzy-Logik basiert auf der Mengenlehre. Daher werden Möglichkeiten, nicht Wahrscheinlichkeiten definiert.
Wenn beispielsweise in einem Baueignungsmodell die Neigung ein Eingabekriterium bildet, wird jeder Neigungswert transformiert, oder ihm wird für die Möglichkeit, dass dieser Neigungswert ein Element der Eignungsmenge zum Bauen (oder der Klasse) ist, ein Wert zwischen 0 und 1 zugewiesen. Dieser Wert bezieht sich auf die Eignung. Der Wert 1 gibt vollständige Sicherheit an, dass der Wert in der Menge enthalten ist, 0 gibt mit vollständiger Sicherheit an, dass er nicht in der Menge enthalten ist. Alle anderen Werte geben einen Grad der Möglichkeit an, wobei die höheren Werte eine höhere Wahrscheinlichkeit der Zugehörigkeit angeben. Der Transformationsprozess für die ursprünglichen Eingabewerte in die 0-bis-1-Möglichkeitsskala der Zugehörigkeit wird als Fuzzyfizierungsprozess bezeichnet. Jedes Kriterium für das Modell, z. B. Ausrichtung, Entfernung von Straßen und Landnutzungstyp, wird fuzzyfiziert. Zum Transformieren der Daten in die 0-bis-1-Möglichkeitsskala wird das Werkzeug Fuzzy-Zugehörigkeit verwendet.
Um die Standorte zu bestimmen, die alle Kriterien am besten erfüllen, das heißt, die eine hohe Wahrscheinlichkeit für die Zugehörigkeit in allen Mengen aufweisen, wird das Werkzeug Fuzzy-Überlagerung verwendet. Bei der Kombination mehrerer Kriterien wird mit dem Werkzeug Fuzzy-Überlagerung die Wahrscheinlichkeit untersucht, dass die Zelle ein Element jeder von den Kriterien definierten Menge ist. Beispielsweise kann nach der Wahrscheinlichkeit gefragt werden, dass ein bestimmter Standort zur günstigen Eignung hinsichtlich Neigung, Ausrichtung und Entfernung von Straßen gehört.
Daher werden von der Fuzzy-Logik für die Überlagerungsanalyse die folgenden beiden Hauptschritte ausgeführt: die Fuzzyfizierung (Fuzzy-Zugehörigkeitsprozess) und die Fuzzy-Überlagerungsanalyse. Diese beiden Schritte entsprechen dem Reklassifizierungs-/Transformationsschritt bzw. dem Additions-/Kombinationsschritt des allgemeinen Überlagerungsprozesses.
Ob etwas zu einer Klasse gehört oder nicht, ist häufig nicht eindeutig festzustellen, sondern eine subjektive Entscheidung. In der menschlichen Sprache werden diese Ungenauigkeiten durch Modifikatoren ausgedrückt, z. B. sehr, etwas oder mäßig. Mit der Fuzzy-Logik werden Überlagerungsanalysen ähnlich wie normale menschliche Denkprozesse durchgeführt. Die Dinge sind nicht eindeutig, Grenzen können ungenau sein. Die Fuzzy-Logik bildet keine Analyse der Unsicherheit in den Daten, sondern untersucht die Ungenauigkeit der Klassengrenzen.
In den folgenden Abschnitten werden die Probleme mit der Datenklassifizierung, den Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen und dem Durchführen von Fuzzy-Überlagerungsanalysen erläutert. Weiter unten finden Sie einen Vergleich der Fuzzy-Logik mit Verfahren für binäre und gewichtete Überlagerungsanalysen sowie Erläuterungen zur Integration der Fuzzy-Logik in den allgemeinen Überlagerungsprozess.
Datenklassifizierung und Fuzzy-Logik
Zum Beschreiben oder Ordnen von Phänomenen werden diese meist in Klassen eingeteilt. Landnutzungskategorie, Bodenart, Eignungsgewichtung, Straßenklasse und Vegetationsart sind Beispiele für Klassen. In genau definierten Mengen ist die Zugehörigkeit binär, und das Phänomen ist in der Klasse enthalten oder nicht darin enthalten. Die Klassengrenzen sind scharf. Aufgrund der Ungenauigkeit von Gedanken, mehrdeutigen Kategorisierungsregeln, Vagheiten und Ambivalenzen sind die Grenzen zwischen Klassen jedoch nicht immer klar.
Wenn Sie beispielsweise das Phänomen der Beziehung der unterschiedlichen Größen von Personen in einer Gruppe untersuchen, beginnen Sie möglicherweise damit, die einzelnen Personen nach ihrer Größe in Klassen zu gruppieren. Sie können mit drei Klassen beginnen – klein, mittelgroß und groß. Sie müssen die Grenzen für die Klassen festlegen. Als klein kann beispielsweise jeder Mensch bis 5 Fuß (1,524 Meter) eingeteilt werden, als groß jeder Mensch ab beispielsweise 6 Fuß (1,8288 Meter) und als Person mittlerer Größe jeder Mensch zwischen 5 und 6 Fuß (1,524 und 1,8288 Meter). Wenn eine Person 6 Fuß (1,8288 Meter) groß ist, wird sie als groß eingeordnet. Wenn eine Person 5 Fuß, 11 Zoll (1,8034 Meter) misst, wird sie als mittelgroß klassifiziert. Trotz des Unterschieds von nur 1 Zoll (2,54 Zentimeter) zwischen der Größe der beiden Personen werden sie in zwei separaten Klassen eingeordnet. Die gleiche Unterschiedsbeziehung würde gelten, wenn zwei weitere Gruppenmitglieder 5 Fuß, 1 Zoll (1,5494 Meter) und 6 Fuß, 6 Zoll (1,9812 Meter) messen. Aufgrund der Grobheit der Klassifizierungen können die vollständigen Beziehungen zwischen den Größen nicht erfasst werden.
Um die Größenbeziehungen zwischen den verschiedenen Personen angemessener darzustellen, können weitere Klassen hinzugefügt werden. Beispielsweise können zwei weitere Klassen hinzugefügt werden – als klein werden Menschen bis 4 Fuß, 10 Zoll (1,4732 Meter) behandelt, als mittelklein solche zwischen 4 Fuß, 10 Zoll (1,4732 Meter) und 5 Fuß, 4 Zoll (1,6256 Meter), als mittel 5 Fuß, 4 Zoll (1,6256 Meter) bis 5 Fuß, 10 Zoll (1,778 Meter), als mittelgroß 5 Fuß, 10 Zoll (1,778 Meter) bis 6 Fuß, 4 Zoll (1,9304 Meter) und als groß ab 6 Fuß, 4 Zoll (1,9304 Meter). Mit dieser Verfeinerung der Klassen kann die Beziehung zwischen der Größe von Personen genauer erfasst werden.
Durch noch mehr Klassen kann eine weitere Verfeinerung erreicht werden. Unabhängig von der Anzahl der hinzugefügten Klassen besteht jedoch keine Generalisierung der Größenbeziehung zwischen den Personen. Manche Phänomene können nicht in streng definierte Klassen klassifiziert werden. Manchmal ist es schwierig, die wirkliche Welt in diskontinuierliche Klassen zu gruppieren.
Wie sich zeigt, kann die Definition von Klassengrenzen subjektiv erfolgen und sich mit der Definition des Phänomens ändern. In den oben definierten Größenklassen wird davon ausgegangen, dass es sich bei den Personen um Erwachsene handelte, sehr wahrscheinlich um eine gemischte Gruppe von Männern und Frauen. Die Klassendefinitionen müssen möglicherweise geändert werden, wenn die Gruppe nur aus Frauen besteht. Die Klassengrenzen müssen möglicherweise noch stärker geändert werden, wenn die Gruppe aus Kindern besteht oder Kinder einschließt.
Die Definition von Klassen und die Eigenheiten des Phänomens geben vor, wie das modellierte Phänomen dargestellt werden kann. Messfehler komplizieren das Problem der Klassifizierung weiter. Wenn das Verfahren zum Messen der Größe der Personen eine Genauigkeit von plus/minus 1 Zoll (2,54 Zentimeter) aufweist, kann die Ungenauigkeit zu einer Änderung der Klasse führen, der ein Phänomen zugewiesen wird.
Mit der Fuzzy-Logik wird diese Ungenauigkeit im Klassifizierungsprozess modelliert. In der Fuzzy-Logik werden die Klassen als unscharfe Mengen definiert. Es liegt eine Übereinstimmung über den idealen Wert für die Zugehörigkeit in der Menge vor, z. B. für den idealen Neigungswert in einem Baueignungsmodell. Mit wachsender Entfernung der Werte vom Ideal nimmt der Grad der Klarheit bis zu einem bestimmten Punkt ab, an dem es klar ist, dass der Wert kein Element der Menge ist (beispielsweise kann es definitiv zu steil zum Bauen sein).
Im obigen Beispiel der Größenanwendung mit den drei Größenklassen klein, mittel und groß können sich die Klassen in der Fuzzy-Logik überlappen.
Im obigen Bild gelten für die vollständige Zugehörigkeit in den einzelnen Klassen folgende Werte:
- Klein: < 5 Fuß (1,524 Meter)
- Mittel: 5 Fuß 3,5 Zoll (1,6129 Meter) bis 5 Fuß, 8,5 Zoll (1,7399 Meter)
- Groß: > 6 Fuß (1,8288 Meter)
Bei der Menge (oder Klasse) "Klein" ist jede Person bis 5 Fuß (1,524 Meter) definitiv in der Menge "Klein" enthalten, ihr wird eine 1 zugewiesen. Alle Personen mit einer Größe über 5 Fuß (1,524 Meter), aber unter 5 Fuß, 3,5 Zoll (1,6129 Meter) liegen zwischen den Mengen (oder Klassen) "Klein" und "Mittel". Bei Größen zwischen 5 Fuß (1,524 Meter) und 5 Fuß 1,75 Zoll (1,6193 Meter) liegen die Größen wahrscheinlicher in der Menge "Klein". Größen über 5 Fuß, 1,75 Zoll (1,6193 Meter) bis maximal 5 Fuß, 3,5 Zoll (1,6129 Meter) liegen möglicherweise in der Menge "Klein", jedoch ist die Möglichkeit größer, dass sie Teil der Menge "Mittel" sind.
Der Fuzzyfizierungsprozess wird im Allgemeinen durch vorherbestimmte Funktionen mit dem Werkzeug Fuzzy-Zugehörigkeit umgesetzt.
Fuzzy-Zugehörigkeit
Der Fuzzyfizierungsprozess charakterisiert die Ungenauigkeit von Klassen für Phänomene, die keine scharf definierten Grenzen aufweisen.
Bei der Fuzzyfizierung werden die ursprünglichen Werte des Phänomens in die Möglichkeit umgewandelt, dass sie in eine definierte Menge gehören. Die definierte Menge kann aus Elementen bestehen, die für etwas geeignet sind oder innerhalb einer günstigen Entfernung liegen oder die Möglichkeit bieten, dass ein bestimmtes Mineral gefunden wird. Die ursprünglichen Werte des Phänomens werden durch vordefinierte Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen oder beliebige andere Reklassifizierungsverfahren in diesem Zugehörigkeitskontinuum reklassifiziert.
Im Fuzzyfizierungsprozess wird die ideale Definition für die Zugehörigkeit in der Menge definiert. Jedem Wert des Phänomens nahe des Kerns der Mengendefinition wird eine 1 zugewiesen. Werten, die definitiv kein Teil der Menge sind, wird eine 0 zugewiesen. Werte zwischen den beiden Extremen liegen in der Übergangszone der Menge, der Grenze. In Abhängigkeit von der Entfernung vom Ideal oder Mittelpunkt der Menge wird den Werten ein immer kleinerer Wert von 1 bis 0 auf einer kontinuierlichen Skala zugewiesen. Mit fallenden Werten besteht für den ursprünglichen Phänomenwert eine immer geringere Möglichkeit, Element dieser Menge zu sein.
Der Fuzzyfizierungswert 0,5 bildet den Übergangspunkt. Jeder Fuzzy-Wert über 0,5 weist darauf hin, dass der ursprüngliche Phänomenwert möglicherweise ein Element der Menge ist. Bei Fuzzyfizierungswerten unter 0,5 ist es weniger wahrscheinlich, dass der Wert des ursprünglichen Phänomens ein Element der Menge ist – die Werte sind möglicherweise nicht Teil der Menge.
Die Breite der Übergangszone hängt vom zu modellierenden Phänomen, den bekannten Merkmalen des Phänomens, der Definition der Menge sowie der Genauigkeit der Messwerte ab. Durch Ändern der Parameter für die Fuzzyfizierungsfunktion können die Eigenschaften der Übergangszone definiert werden. Die unten dargestellte Abbildung zeigt die Gauß'sche Fuzzy-Funktion mit drei verschiedenen Kurven, die durch Änderungen der Funktionsparameter abgeleitet werden.
Die Parameter dienen als Modifikator zum Definieren der Menge. Die Modifikatoren charakterisieren die potenzielle Überlappung oder den Zwischenraum zwischen den Mengen.
Der Fuzzyfizierungsprozess wird für jedes Kriterium in der Überlagerungsanalyse einzeln durchgeführt.
Fuzzy-Überlagerungsverfahren
Zum Analysieren der Beziehungen und der Wechselwirkungen zwischen allen Mengen für die verschiedenen Kriterien im Überlagerungsmodell werden Fuzzy-Überlagerungsverfahren verwendet. Da der Fuzzyfizierungsprozess auf dem Grad der Zugehörigkeit in einer Menge basiert, beschreiben die Überlagerungsverfahren die Wechselwirkungen der Ungenauigkeiten bei der Zugehörigkeit in den Mengen. Die Fuzzy-Überlagerungsverfahren basieren auf der Mengenlehre. Die Mengenlehre ist der Teilbereich der Mathematik, der die Zugehörigkeit von Phänomenen zu bestimmten Mengen in Zahlen ausdrückt. Bei Fuzzy-Überlagerung entspricht eine Menge i. d. R. einer Klasse.
Die folgenden Fuzzy-Überlagerungsverfahren für Mengen sind verfügbar: "Fuzzy AND", "Fuzzy OR", "Fuzzy PRODUCT", "Fuzzy SUM" und "Fuzzy GAMMA". Jedes dieser Verfahren beschreibt die Beziehung der Zugehörigkeit der Zelle zu den Eingabemengen. Mit dem Überlagerungstyp "Fuzzy AND" wird z. B. ein Ausgabe-Raster erstellt, in dem jeder Zellenwert dem kleinsten zugewiesenen Fuzzy-Wert aller Mengen entspricht, zu denen die Zellenposition gehört. Wenn sich die Überlagerungsanalyse auf ein Baueignungsmodell bezieht und jedes Kriterium hinsichtlich seiner Zugehörigkeit in geeigneten Mengen fuzzyfiziert wurde, wird mit "Fuzzy AND" die geringste Möglichkeit ermittelt, dass die Zelle zu einer der geeigneten Mengen innerhalb der Kriterien gehört.
Mit dem Typ "Fuzzy OR" wird der größte Wert der Schnittpunkte der Mengen zurückgegeben. Auf das Baueignungsmodell übertragen bedeutet dies, dass die höchste potenzielle Zugehörigkeit (der höchste Eignungswert) anhand der Kriterien für jede Zelle ermittelt wird.
Binäre, gewichtete und Fuzzy-Logik-Überlagerung
In vielen Beschreibungen der Fuzzy-Logik für Überlagerungsanalysen wird diese mit der binären Überlagerungsanalyse verglichen. Bei binären Überlagerungsanalysen wird jede Zelle anhand jedes Kriteriums dahingehend ausgewertet, ob sie einer angegebenen Klasse angehört oder nicht. Wie oben beschrieben, kann es in vielen Fällen schwierig sein, klare Klassengrenzen zu definieren und Zellen definitiv bestimmten Klassen zuzuweisen. Bei binären Analysen wird im Fall eines Baueignungsmodells jede Zelle anhand jedes Kriteriums als geeignet (1) oder als nicht geeignet (0) bestimmt. Beim Überlagerungsprozess wird den Standorten für alle Eingabekriterien, die als potenziell geeignete Standorte ausgewertet wurden, eine 1 zugewiesen.
Die Methode der binären Überlagerungsanalyse weist u. a. folgende Beschränkungen auf:
- Wenn kein Standort alle Kriterien erfüllt, wird keine Option als die zweitbeste ermittelt.
- Es erfolgt keine relative Gewichtung der Standorte, die die Kriterien erfüllen.
- Die oben erläuterten Probleme bei der Klassifizierung.
Mit gewichteten Überlagerungsanalysen wird versucht, diesen Beschränkungen entgegenzusteuern. Statt jede Zelle anhand einer Binärskala mit 0 und 1 zu klassifizieren, wird mit dem Werkzeug Gewichtete Überlagerung jeder Zelle ein Wert anhand einer definierten kontinuierlichen Skala, z. B. von 1 bis 10, zugewiesen, wobei 10 den hinsichtlich der Kriterien günstigsten Wert darstellt. Die kontinuierliche Skala bietet mehr Abstufungen von Klassen und ermöglicht eine differenziertere Darstellung des Phänomens. Jeder Zelle wird anhand jedes Kriteriums ein Wert auf der Skala von 1 bis 10 zugewiesen. Alle reklassifizierten Kriterien werden dann summiert. Die Zellenpositionen mit den höchsten Summenwerten werden als die hinsichtlich der Eingabekriterien günstigsten angesehen. Je mehr günstige Kriterien für alle Eingabewerte vorliegen, desto besser.
Fuzzy-Überlagerung und gewichtete Überlagerung sind einander ähnlicher als der binären Überlagerung. Diese beiden Verfahren beruhen jedoch auf unterschiedlichen Voraussetzungen. Die Fuzzy-Überlagerung basiert auf der Mengenlehre, die gewichtete Überlagerung hingegen auf linearen Kombinationen. Bei beiden Verfahren werden die ursprünglichen Werte transformiert. Bei der Fuzzy-Überlagerung definiert die Transformation die Möglichkeit der Zugehörigkeit zu Mengen, während sich die gewichtete Überlagerung auf eine relative Günstigkeitsskala bezieht. Da in beiden Verfahren eigene Methoden verwendet werden, sind die Werkzeuge für Analysen bei mehreren Kriterien nicht austauschbar.
Prozess bei Fuzzy-Logik- und allgemeinen Überlagerungsanalysen
Bei Fuzzy-Logik-Überlagerungsanalysen werden die gleichen Schritte wie bei allgemeinen Überlagerungsanalysen durchgeführt. Jedoch sind einige Schritte wichtiger, andere weniger wichtig. Zudem besitzen die Werte der zugewiesenen Zahlen im Verhältnis zu den anderen Überlagerungsanalysemethoden eine andere Bedeutung.
Bei allgemeinen Überlagerungsanalysen werden die folgenden Schritte ausgeführt:
- Definieren Sie das Problem.
- Gliedern Sie das Problem in untergeordnete Modelle.
- Bestimmen Sie wichtige Layer.
- Reklassifizieren oder transformieren Sie die Daten innerhalb eines Layers.
- Gewichten Sie die Eingabe-Layer.
- Addieren oder kombinieren Sie die Layer.
- Führen Sie die Analyse durch.
Die Schritte 1 bis 3 bei einer Fuzzy-Logik-Analyse entsprechen denen bei anderen Überlagerungsanalysen. Da die Fuzzy-Logik auf Mengen basiert, ist sie aufgrund der Bedeutung der reklassifizierten Werte (Schritt 4) und der verfügbaren Analyseverfahren zum Kombinieren mehrerer Kriterien (Schritt 6) im Vergleich zu anderen Überlagerungsanalysemethoden einzigartig.
In den folgenden Abschnitten wird erläutert, wodurch sich die Fuzzy-Logik in den Schritten 4 bis 7 unterscheidet.
Reklassifizieren oder Transformieren der Daten in einem Layer
Die Eingabedaten werden auf einer Skala von 0 bis 1 reklassifiziert oder transformiert, wodurch die Möglichkeit ermittelt wird, dass sie zu einer angegebenen Menge gehören. Dieser Reklassifizierungs- oder Fuzzyfizierungsprozess erfolgt mit dem Werkzeug Fuzzy-Zugehörigkeit. Zur Unterstützung dieses Transformationsprozesses wurde eine Reihe von Zugehörigkeitsfunktionen entwickelt. Folgende Funktionen sind verfügbar: "Fuzzy Gaussian", "Fuzzy Large", "Fuzzy Linear", "Fuzzy MSLarge", "Fuzzy MSSmall", "Fuzzy Near" und "Fuzzy Small". Mit jeder Zugehörigkeitsfunktion werden die Daten auf eine bestimmte Weise transformiert, um die Wechselwirkungen des Phänomens zu erfassen.
Gewichten der Eingabe-Layer
Da die Fuzzy-Logik auf der Mengenlehre basiert und Sie ermitteln, ob eine bestimmte Position zu einer oder mehreren Mengen gehört, ist eine Gewichtung nicht sinnvoll. Durch stärkere Gewichtung eines Faktors gegenüber einem anderen kann nicht die Möglichkeit erhöht werden, dass ein Wert einer Menge oder einer Kombination mehrerer Mengen angehört. Die Position ist Element einer Menge, oder sie ist es nicht (zusammen mit sämtlichen Graden dazwischen). In Fuzzy-Überlagerungsanalysen können die Kriterien nicht gewichtet werden.
Addieren oder Kombinieren der Layer
Beim Schritt des Addierens oder Kombinierens wird mit der Fuzzy-Logik die Wechselwirkung der Möglichkeit untersucht, dass das Phänomen zu mehreren Mengen gehört. Im Gegensatz dazu beruhen "Gewichtete Überlagerung" und "Gewichtete Summe" auf dem Gedanken, dass günstigere Elemente ein besseres Ergebnis darstellen.
Bei der Fuzzy-Überlagerung sind bestimmte Verfahren verfügbar, mit denen diese relative Beziehung untersucht und die Wechselwirkung quantifiziert wird. Als Kombinationsmethoden stehen "Fuzzy AND", "Fuzzy OR", "Fuzzy PRODUCT", "Fuzzy SUM" und "Fuzzy GAMMA" zur Verfügung. Jede dieser Methoden basiert auf der Mengenlehre und ist für die Fuzzy-Überlagerungsanalyse spezifisch.
Analysieren
Wie bei allen Überlagerungsanalysen hängt die Analyse und Interpretation der Ergebnisse von Ihnen ab. Aufgrund der unterschiedlichen Bedeutungen der reklassifizierten Werte und der den einzelnen Überlagerungsmethoden zugrunde liegenden Überlagerungsverfahren muss die Gültigkeit der Ergebnisse jedoch möglicherweise mit unterschiedlichen Mechanismen ermittelt werden.