Funktionsweise von "Darcy-Strömung" und "Darcy-Geschwindigkeit"

Mit der Spatial Analyst-Lizenz verfügbar.

Darcy-Strömung und Darcy-Geschwindigkeit können in Verbindung mit Partikelverfolgung und Durchlässigkeit verwendet werden, um eine rudimentäre Advektions-Dispersions-Modellierung von Grundwasserbestandteilen vorzunehmen. Diese Methode modelliert einen zweidimensionalen, senkrecht gemischten, horizontalen und gleichmäßigen Fluss, bei dem das Druckpotenzial unabhängig von der Tiefe ist.

Berechnung der Darcy-Strömung

Die bei der Berechnung der Darcy-Strömung verwendeten Gleichungen werden in den folgenden Abschnitten beschrieben.

Berechnen von Fluss und Geschwindigkeit

  • Das Darcy-Gesetz besagt, dass die Darcy-Geschwindigkeit q in einem porösen Medium anhand der hydraulischen Leitfähigkeit K und dem hydraulischen Gradienten hydraulischer Gradient (die Änderung des Druckpotenzials pro Einheit Länge in der Strömungsrichtung in einem isotropischen Grundwasserleiter) wie folgt berechnet wird:

    • q = -K hydraulischer Gradient

      wobei K aus der Transmissivität T und der Stärke b als K = T/b berechnet werden kann.

    Dieser Wert q, in Einheiten von Volumen/Zeit/Fläche, wird auch als spezifischer Durchfluss, volumetrischer Durchfluss oder Filtergeschwindigkeit bezeichnet. Bear (1979) definiert ihn als das Volumen des Wassers, das in der normalen Strömungsrichtung pro Einheit Zeit durch eine Einheit Querschnittsfläche fließt.

  • Eng verknüpft mit dem volumetrischen Durchfluss ist der Durchfluss U des Grundwasserleiters, wobei es sich um den Abfluss pro Einheit Breite im Grundwasserleiter handelt (in Einheiten von Volumen/Zeit/Länge):

    • U = -T hydraulischer Gradient

    Dieses Konzept geht davon aus, dass das Druckpotenzial von der Tiefe unabhängig ist, sodass der Fluss horizontal ist.

  • Die durchschnittliche Flüssigkeitsgeschwindigkeit innerhalb der Poren, bezeichnet als Sickergeschwindigkeit V, ist die Darcy-Geschwindigkeit geteilt durch die effektive Porosität des Mediums:

    • Formel für Sickergeschwindigkeit (V)
  • In der Implementierung des Werkzeugs Darcy-Strömung wird die Sickergeschwindigkeit V auf Zellenbasis berechnet. Für eine Zelle i,j wird der Durchfluss U des Grundwasserleiters durch jede der vier Zellwände berechnet, wobei der Unterschied zwischen den Druckpotenzialen der zwei benachbarten Zellen und das harmonische Mittel der Transmissivitäten Ti+1/2,j (Konikow und Bredehoeft, 1978) verwendet wird, die als isotropisch vorausgesetzt werden.

    Zum Beispiel lautet für die x-Komponente von hydraulischer Gradient die Gleichung zwischen den Zellen i,j und i+1,j:

    • δh/δx ≈ (hi+1 - hi) / Δx
  • Dieses Schema wird in den folgenden Grafiken veranschaulicht:

    Abbildung der auf Zellenbasis berechneten Sickergeschwindigkeit (V)

Berechnen des Restvolumens

In der darauffolgenden Zellwandberechnung erfolgt der Durchfluss des Grundwasserleiters zwischen Zelle i,j und Zelle i+1,j parallel zur x-Richtung. Er wird wie folgt berechnet:

  • Formel für den Durchfluss des Grundwasserleiters, der parallel zur x-Richtung fließt

Um den Grundwasservolumenausgleich zu bestimmen, muss der Grundwasserabfluss durch die Zellwand berechnet werden. Der Abfluss Q x(i+1/2) wird aus dem Durchfluss U des Grundwasserleiters und der Breite der Zellwand Δy berechnet:

  • Qx(i+1/2,j) = Ux(i+1/2,j) Δy

Für alle vier Zellwände ergeben sich ähnliche Werte. Anhand dieser Werte wird für die Zelle das Residuum für den Grundwasservolumenausgleich Rvol berechnet, das in das Ausgabe-Raster geschrieben wird. Dieser Wert stellt den Überschuss (oder, im Fall einer negativen Zahl, das Fehlen) des Wassers in Abhängigkeit vom Nettofluss in die jeweilige Zelle dar. Er wird wie folgt berechnet:

  • Formel für Volumenausgleichs-Residuum Rvol

Das Residuum Rvol sollte im Idealfall für alle Zellen 0 betragen. Achten Sie auf Abweichungen von 0, wenn Sie das Ausgabe-Raster mit den Residuen untersuchen. Große positive oder negative Residuen bedeuten eine Massenzunahme bzw. einen Massenverlust, was gegen den Grundsatz der Kontinuität verstößt und auf inkonsistente Druckpotenzial- und Transmissivitätsdaten hinweist. Konsistente Muster positiver oder negativer Residuen deuten darauf hin, dass nicht identifizierte Quellen oder Senken vorhanden sind. Vor jeder weiteren Modellierung sind die Residuen zu reduzieren. In der Regel werden dazu Anpassungen am Transmissivitätsfeld vorgenommen.

Berechnen von Flussvektoren

Die tatsächlich in Darcy-Strömung zum Berechnen der Flussvektoren für jede Zelle verwendeten Gleichungen werden vom arithmetischen Mittel von Ux(i-1/2,j) und Ux(i+1/2,j) abgeleitet, geteilt durch die Porosität der mittleren Zelle ni,j und der Stärke bi,jj, um einen Wert für die Sickergeschwindigkeit Vx im Mittelpunkt zu erhalten:

  • Formel für Sickergeschwindigkeit Vx

Eine ähnliche Gleichung wird verwendet, um V y im Mittelpunkt zu berechnen:

  • Formel für Sickergeschwindigkeit Vy

Durch diese Zentrierung wird die Konvention erfüllt, dass gespeicherte Werte Werte im Mittelpunkt der Zelle darstellen. Zur Speicherung in den Ausgabe-Richtungs- und Magnituden-Rastern werden diese Werte in Richtung und Magnitude für geographische Koordinaten konvertiert.

Im Falle der Grenzzellen des Rasters, für die die Informationen unvollständig sind, werden die Geschwindigkeitswerte aus der nächstgelegenen inneren Zelle kopiert.

Porositätswerte

In den folgenden Tabellen sind für verschiedene geologische Medien einige Werte hinsichtlich Porosität und hydraulischer Leitfähigkeit zusammengefasst.

Tabelle 1: Hydraulische Leitfähigkeiten nicht fundierter Medien

MediumK (m/s)

Grober Kies

10-1 – 10-2

Sand und Kies

10-1 – 10-5

Feiner Sand, Schlicke, Löss

10-5 – 10-9

Ton, Schiefer, Moränenablagerung

10-9 – 10-13

Hydraulische Leitfähigkeiten fundierter Medien, Marsily (1986)

Tabelle 2: Hydraulische Leitfähigkeiten fundierter Medien

MediumK (m/s)

Dolomitkalk

10-3 – 10-5

Verwitterter Kalk

10-3 – 10-5

Unverwitterter Kalk

10-6 – 10-9

Kalkstein

10-5 – 10-9

Sandstein

10-4 – 10-10

Granit, Gneis, kompakter Basalt

10-9 – 10-13

Hydraulische Leitfähigkeiten fundierter Medien, Marsily (1986)

Tabelle 3: Porositäten geologischer Medien

MediumGesamtporosität

Unveränderter Granit und Gneis

0,0002–0,018

Quartzit

0,008

Schiefer, Schieferplatten, Glimmerschiefer

0,005–0,075

Kalkstein, Primärdolomit

0,005–0,125

Sekundärdolomit

0,10–0,30

Kreide

0,08–0,37

Sandstein

0,035–0,38

Vulkanischer Tuff

0,30–0,40

Sand

0,15–0,48

Ton

0,44–0,53

Blähton, Schlick

bis zu 0,90

Bestellter Ackerboden

0,45–0,65

Porositäten geologischer Medien, Marsily (1986)

Zusätzliche tabellarisierte Werte für Porosität und hydraulische Leitfähigkeit finden sich bei Freeze und Cherry (1979). Gelhar et al. (1992) geben eine Zusammenfassung der Porosität und Transmissivität verschiedener spezifischer Formationen, die in verschiedenen Literaturquellen aufgezeichnet sind. Eine ausführliche Darstellung der Porosität in sedimentären Materialien geben Blatt et al. (1980). Eine vollständige Abhandlung zum Thema Advektions-Dispersions-Modellierung unter Verwendung dieser Funktionen ist in Tauxe (1994) zu finden.

Beispiele

Bei der Grundwasser-Dispersionsmodellierung werden die Werkzeuge gewöhnlicherweise in folgender Reihenfolge eingesetzt: Darcy-Strömung, Partikelverfolgung und Durchlässigkeit.

  • Im Folgenden finden Sie ein Beispiel für die Einstellungen, die im Dialogfeld des Werkzeugs Darcy-Strömung vorzunehmen sind:

    Eingabe-Raster des Grundwasserdruckpotenzials: head

    Eingabe-Raster der effektiven Porosität der Formation: poros

    Eingabe-Raster der gesättigten Stärke: thickn

    Eingabe-Raster der Transmissivität der Formation: transm

    Ausgabe-Raster für Grundwasservolumenausgleich: resid1

    Ausgabe-Richtungs-Raster: dir1

    Ausgabe-Magnituden-Raster: mag1

  • Im Folgenden finden Sie ein Beispiel für die Einstellungen, die im Dialogfeld des Werkzeugs Darcy-Geschwindigkeit vorzunehmen sind:

    Eingabe-Raster des Grundwasserdruckpotenzials: head

    Eingabe-Raster der effektiven Porosität der Formation: poros

    Eingabe-Raster der gesättigten Stärke: thickn

    Eingabe-Raster der Transmissivität der Formation: transm

    Ausgabe-Richtungs-Raster: dir1

    Ausgabe-Magnituden-Raster: mag1

Referenzen

Bear, J. Hydraulics of Groundwater. McGraw-Hill. 1979

Blatt, H., G. Middleton, and R. Murray Origin of Sedimentary Rocks, 2nd Ed. Prentice-Hall. 1980

Freeze, R. A., and J. A. Cherry. Grundwasser Prentice-Hall. 1979

Gelhar, L. W., C. Welty, and K. R. Rehfeldt. "A Critical Review of Data on Field-Scale Dispersion in Aquifers". Water Resources Research, 28 no. 7: 1955–1974. 1992.

Konikow, L. F. and J. D. Bredehoeft. "Computer Model of Two-Dimensional Solute Transport and Dispersion in Ground Water", USGS Techniques of Water Resources Investigations, Book 7, Chap. C2, U.S. Geological Survey, Washington, D.C. 1978.

Marsily, G. de. Quantitative Hydrogeology. Academic Press. 1986.

Tauxe, J. D. "Porous Medium Advection-Dispersion Modeling in a Geographic Information System". Doctoral Dissertation in Civil Engineering. The University of Texas at Austin, 1994.

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