Beschreibung
Die stereographische Projektion ist eine planare perspektivische Projektion, bei der die Erdoberfläche von einem Punkt aus betrachtet wird, der dem Tangentenpunkt gegenüber liegt. Sie projiziert Punkte auf einem Sphäroid direkt auf die Ebene und stellt die einzige azimutale winkeltreue Projektion dar. Die Projektion wird am häufigsten in polaren Ausrichtungen für topografische Karten von Polarregionen verwendet. Am bekanntesten sind Karten mit universaler polar-stereographischer Projektion (UPS), die Flächen nördlich von 84° Nord und südlich von 80° Süd darstellen, die im UTM-Koordinatensystem (Universal Transverse Mercator) nicht enthalten sind.
Die stereographische Projektion ist in ArcGIS Pro 1.0 und höher sowie in ArcGIS Desktop 8.0 und höher verfügbar.
Projektionseigenschaften
In den folgenden Unterabschnitten werden die Eigenschaften der stereographischen Projektion beschrieben.
Gradnetz
Die stereographische Projektion ist eine azimutale Projektion.
In der polaren Ausrichtung werden die Meridiane als gerade Linien vom Pol aus winkeltreu projiziert. Die Parallelkreise werden als konzentrische Kreisbögen dargestellt. Ihr Abstand nimmt vom Pol stark zu. Alle Linienüberschneidungen des Gradnetzes weisen einen Winkel von 90 Grad auf. Der gegenüber liegende Pol kann nicht dargestellt werden.
In Äquatorausrichtung werden der Äquator und der Mittelmeridian als zwei rechtwinklige gerade Linien projiziert. Die anderen Meridiane und Parallelkreise sind Kurven mit ungleichmäßigem Abstand, konkav zum Mittelmeridian bzw. zu den Polen.
In der schiefachsigen Ausrichtung sind nur der dem mittleren Breitengrad entsprechende Parallelkreis mit umgekehrtem Vorzeichen sowie der Mittelmeridian gerade Linien. Die anderen Parallelkreise sind auf beiden Seiten der geraden Parallelkreise konkav zu den Polen. Die anderen Meridiane sind Kreisbögen, die sich an den Polen schneiden. Der Antipodenpunkt des Mittelpunktes der Projektion kann in keiner Ausrichtung dargestellt werden.
Verzerrung
Die stereographische Projektion ist eine winkeltreue Kartenprojektion. Die Richtungstreue bleibt nicht erhalten, die Winkel und Formen werden jedoch in infinitesimalem Maßstab beibehalten. Der Kreisbogen ohne Maßstabsverzerrung wird mit dem Parameter "Standardparallele" oder "Maßstabsfaktor" angegeben. Die Flächen-, Entfernungs- und Maßstabsverzerrung nimmt mit zunehmender Entfernung von der Standardparallelen stark zu. Verzerrungswerte sind an den runden Kreisbögen um den Mittelpunkt gleich.
Verwendung
Die stereographische Projektion eignet sich zum Erstellen von Karten der Polarregionen mit großen Maßstäben, z. B. für Navigations- und topografische Karten. Sie wird für UPS-Karten verwendet, die Flächen nördlich von 84° Nord und südlich von 80° Süd darstellen, die nicht im UTM-Koordinatensystem enthalten sind.
Varianten
In ArcGIS sind sieben Varianten verfügbar:
- Die stereographische Projektion unterstützt alle Ausrichtungen der Projektion. Sie ist in ArcGIS Pro 1.0 und höher sowie in ArcGIS Desktop 8.0 und höher verfügbar.
- Stereographic North Pole ist auf den Nordpol beschränkt. Sie ist in ArcGIS Pro 1.0 und höher sowie in ArcGIS Desktop 8.1.2 und höher verfügbar.
- Stereographic South Pole ist auf den Südpol beschränkt. Sie ist in ArcGIS Pro 1.0 und höher sowie in ArcGIS Desktop 8.1.2 und höher verfügbar.
- Stereographic Auxiliary Sphere ist die einzige Variante, die keine Ellipsoide unterstützt. Stattdessen werden kugelbasierte Gleichungen mit einer Kugel verwendet, die durch den Parameter "Art der Auxiliary Sphere" festgelegt wird. Die winkeltreuen Eigenschaften bleiben nicht erhalten, wenn das Ellipsoid in dieser Variante verwendet wird. Sie ist in ArcGIS Pro 1.0 und höher sowie in ArcGIS Desktop 9.3 und höher verfügbar.
- Die Implementierung der polar-stereographischen Variante A gleicht der stereographischen Variante, aber die EPSG-Parameterdefinitionen werden verwendet. Der Kreisbogen ohne Maßstabsverzerrung kann mit dem Parameter "Maßstabsfaktor" angegeben werden. Sie ist in ArcGIS Pro 1.2 und höher sowie in ArcGIS Desktop 10.4 und höher verfügbar.
- Die Implementierung der polar-stereographischen Variante B gleicht der stereographischen Variante, aber die EPSG-Parameterdefinitionen werden verwendet. Die Standardparallele ohne Maßstabsverzerrung kann mit dem Parameter "Standardparallele" angegeben werden. Der Ursprung der Rasterkoordinaten liegt am Pol. Sie ist in ArcGIS Pro 1.2 und höher sowie in ArcGIS Desktop 10.4 und höher verfügbar.
- Die Implementierung der polar-stereographischen Variante C gleicht der stereographischen Variante, aber die EPSG-Parameterdefinitionen werden verwendet. Die Standardparallele ohne Maßstabsverzerrung kann mit dem Parameter "Standardparallele" angegeben werden. Der Ursprung der Rasterkoordinaten liegt am Schnittpunkt der Standardparallele mit dem Längengrad des Ursprungs. Sie ist in ArcGIS Pro 1.2 und höher sowie in ArcGIS Desktop 10.4 und höher verfügbar.
Einschränkungen
Mit der stereographischen Projektion können nur etwa drei Viertel des Planeten dargestellt werden. Der Antipodenpunkt des Projektionsmittelpunktes kann in keiner Ausrichtung dargestellt werden. Deshalb kann in der polaren Ausrichtung der gegenüberliegende Pol nicht projiziert und auf der Karte dargestellt werden. Die Verwendung dieser Projektion ist aufgrund der starken Verzerrung normalerweise auf eine Hemisphäre beschränkt.
Parameter
Die Parameter der stereographischen Projektion lauten wie folgt:
- Östlicher Versatz
- Nördlicher Versatz
- Mittelmeridian
- Maßstabsfaktor
- Breitengrad des Ursprungs
Die Parameter von Stereographic North Pole lauten wie folgt:
- Östlicher Versatz
- Nördlicher Versatz
- Mittelmeridian
- Standardparallele 1
Die Parameter von Stereographic South Pole lauten wie folgt:
- Östlicher Versatz
- Nördlicher Versatz
- Mittelmeridian
- Standardparallele 1
Die Parameter der Stereographic Auxiliary Sphere lauten wie folgt:
- Östlicher Versatz
- Nördlicher Versatz
- Mittelmeridian
- Maßstabsfaktor
- Breitengrad des Ursprungs
- "Art der Auxiliary Sphere" mit den folgenden Werten:
- 0 = Große Halbachse des geographischen Koordinatensystems verwenden
- 1 = Kleine Halbachse verwenden
- 2 = Authalischen Radius berechnen und verwenden
- 3 = Authalischen Radius verwenden und geodätische Breitengrade in authalische Breitengrade konvertieren
Hinweis:
Wenn das geographische Koordinatensystem eine Kugel verwendet, wird für "Art der Auxiliary Sphere" in allen vier Fällen der Radius der Kugel verwendet.
Die Parameter der polar-stereographischen Variante A lauten wie folgt:
- Östlicher Versatz
- Nördlicher Versatz
- Längengrad des Ursprungs
- Maßstabsfaktor
- Breitengrad des Ursprungs
Die Parameter der polar-stereographischen Variante B lauten wie folgt:
- Östlicher Versatz
- Nördlicher Versatz
- Längengrad des Ursprungs
- Standardparallele 1
Die Parameter der polar-stereographischen Variante C lauten wie folgt:
- Östlicher Versatz
- Nördlicher Versatz
- Längengrad des Ursprungs
- Standardparallele 1
Universelle polar-stereographische Projektion
UPS-Karten, die Flächen nördlich von 84° Nord und südlich von 80° Süd darstellen, die nicht im UTM-Koordinatensystem enthalten sind. Es gibt zwei Koordinatensysteme, die auf den Nord- oder Südpol zentriert sind und arktische oder antarktische Regionen abdecken.
Die Meridiane werden als gerade Linien projiziert, deren Ursprung der Pol ist. Breitengradlinien sind konzentrische Kreise. Die Abstände zwischen den Kreisen nehmen mit der Entfernung vom zentralen Pol zu. Der Breitengrad des tatsächlichen Maßstabs, 81°06'52.3" Nord oder Süd, entspricht dem Maßstabsfaktor 0,994 am Pol. Dem Ursprung am Schnittpunkt der Meridiane ist ein östlicher Versatz und ein nördlicher Versatz von 2.000.000 Metern zugewiesen. UPS-Karten sind normalerweise auf 84° Nord in nordpolarer Ausrichtung und 80° Süd in südpolarer Ausrichtung beschränkt.
Quellen
Snyder, J. P. (1987). Map Projections: A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. Washington, DC: United States Government Printing Office.
Snyder, J. P. and Voxland, P. M. (1989). An Album of Map Projections. U.S. Geological Survey Professional Paper 1453. Washington, DC: United States Government Printing Office.
The Universal Grids and the Transverse Mercator and Polar Stereographic Map Projections. NGA.SIG.0012_2.0.0_UTMUPS (2014). Abgerufen: 19. April 2021. https://earth-info.nga.mil/.