Funktionsweise der radialen Basisfunktionen

Mit der Geostatistical Analyst-Lizenz verfügbar.

Radiale Basisfunktionen (RBFs) sind eine Reihe von Verfahren zur exakten Interpolation. Die Oberfläche muss durch jeden gemessenen Beispielwert verlaufen. Es gibt fünf verschiedene Basisfunktionen:

• Thin Plate Spline
• Spline mit Tension
• Komplett vereinfachter Spline
• Multiquadric
• Inverse Multiquadric

Jede Basisfunktion hat eine andere Form und führt zu einer anderen Interpolationsoberfläche. RBF-Methoden sind spezielle Spline-Fälle.

RBFs ähneln dem Konzept nach der Einpassung einer Gummimembran durch die gemessenen Beispielwerte, während die Gesamtkrümmung der Oberfläche minimiert wird. Mit der Basisfunktion, die Sie auswählen, legen Sie fest, wie sich die Gummimembran zwischen den Werten einpasst. Im folgenden Diagramm ist konzeptionell dargestellt, wie sich eine RBF-Oberfläche durch eine Reihe von Beispielhöhenwerten einpasst. Beachten Sie in dem Querschnitt, wie die Oberfläche durch die Datenwerte verläuft.

Querschnitt mit Darstellung der Einpassung der RBF-Oberfläche durch die Beispielwerte

Als genaue Interpolatoren unterscheiden sich die RBF-Methoden von den globalen und lokalen Polynominterpolatoren, die beide ungenaue Interpolatoren sind, für die die Oberfläche nicht durch die gemessenen Punkte verlaufen muss. Beim Vergleich einer RBF mit einer IDW (die auch ein genauer Interpolator ist), sagt die IDW niemals Werte oberhalb des maximalen Messwerts oder unterhalb des minimalen Messwerts voraus, wie Sie unten in dem Querschnitt eines Transekts von Beispieldaten sehen können.

Beispiel eines Profils mit inverser Distanzgewichtung

Mit den RBFs können jedoch, wie in dem Querschnitt unten zu sehen, Werte oberhalb der maximalen und unterhalb der minimalen Messwerte vorhergesagt werden.

Beispiel eines RBF-Querschnitts

Optimale Parameter werden mithilfe der Kreuzvalidierung in ähnlicher Weise ermittelt, wie es für die IDW und die lokale Polynominterpolation erklärt wurde.

Verwendung radialer Basisfunktionen

RBFs werden verwendet, um geglättete Oberflächen aus einer großen Anzahl von Datenpunkten zu generieren. Die Funktionen erzielen gute Ergebnisse für Oberflächen, die sich fließend ändern, wie z. B. Höhen.

Die Verfahren sind jedoch ungeeignet, wenn sich innerhalb geringer Entfernungen große Änderungen in den Oberflächenwerten ergeben und/oder wenn Sie vermuten, dass die Beispieldaten anfällig für Messfehler oder Unsicherheiten sind.

Konzepte hinter radialen Basisfunktionen

In Geostatistical Analyst werden RBFs zu jeder Datenposition gebildet. Eine RBF ist eine Funktion, die sich mit der Entfernung zu einer Position verändert.

RBF-Funktionen für verschiedene Positionen

Nehmen wir z. B. an, dass die radiale Basisfunktion einfach die Entfernung von jeder Position ist, sodass sie über jeder Position einen umgekehrten Kegel bildet. Wenn Sie einen Querschnitt der XZ-Ebene für Y = 5 nehmen, sehen Sie einen Ausschnitt jeder radialen Basisfunktion. Nehmen wir jetzt einmal an, Sie möchten einen Wert zu Y = 5 und X = 7 vorhersagen. Der Wert jeder radialen Basisfunktion an der vorhergesagten Position kann der Abbildung oben anhand der Werte Φ₁, Φ₂ und Φ₃ entnommen werden, die einfach von der Entfernung von jeder Datenposition abhängig sind. Die Vorhersage entsteht durch den gewichteten Durchschnitt aus w₁Φ₁ + w₂Φ₂ + w₃Φ₃ + …

Wie werden nun die Gewichtungen ermittelt? Bisher haben Sie überhaupt keine Datenwerte verwendet. Die Gewichtungen w₁, w₂, w₃ usw. werden ermittelt, indem der Datenwert, wenn die Vorhersage an eine Position mit einem Messwert bewegt wird, genau vorhergesagt wird. Dadurch entstehen N Gleichungen mit N Unbekannten, die eindeutig gelöst werden können. Somit verläuft die Oberfläche durch die Datenwerte, wodurch die Vorhersagen genau werden.

Die radiale Basisfunktion in diesem Beispiel ist ein besonderer Fall einer RBF vom Typ "Multiquadric". In Geostatistical Analyst können Sie darüber hinaus andere RBFs verwenden, wie z. B. komplett vereinfachte Splines, Thin Plate Splines, Splines mit Tension und RBFs vom Typ "Inverse Multiquadric". Der Unterschied zwischen diesen ist zuweilen nicht groß, aber möglicherweise gibt es einen Grund eine von ihnen auszuwählen, oder Sie probieren mehrere und wählen per Kreuzvalidierung eine aus. Jede RBF verfügt über einen Parameter, mit dem festgelegt wird, wie glatt die Oberfläche ist.

Bei allen Methoden außer Inverse Multiquadric gilt, je größer der Parameterwert, umso geglätteter die Karte. Für Inverse Multiquadric gilt das Gegenteil.