Was ist eine Anpassung der kleinsten Quadrate?

Eine Anpassung der kleinsten Quadrate ist ein Verfahren, das statistische Analysen verwendet, um die wahrscheinlichsten Koordinaten für verbundene Punkte in einem Messnetz zu schätzen. In ArcGIS Pro kann die Anpassung der kleinsten Quadrate mit den folgenden Werkzeugen für eine Parcel-Fabric ausgeführt werden:

Weitere Informationen zum Ausführen einer Anpassung der kleinsten Quadrate für die Parcel-Fabric

Anpassung der kleinsten Quadrate und optimal geschätzte Koordinaten

Die Koordinaten eines neuen Punktes können über eine Peilung und eine Entfernung von einem vorhandenen Punkt eindeutig berechnet werden. Es ist jedoch riskant, sich allein auf die Ergebnisse eines einzigen Koordinatensatzes zu verlassen, da es keine Möglichkeit gibt festzustellen, ob die Messungen, die diese Koordinaten definieren, richtig sind. Koordinaten, die aus Messungen von anderen vorhandenen Punkten berechnet wurden, können mit den Koordinaten, die aus den ersten Messungen berechnet wurden, verglichen werden. Im Allgemeinen gilt: Je mehr Messungen es gibt, die einen einzelnen Punkt definieren, desto zuverlässiger sind die Koordinaten und die Erkennung von fehlerhaften Messungen. Diese zusätzlichen Messungen werden als redundante Messungen bezeichnet.

Alle Messungen enthalten eine gewisse Fehlerquote. Mit redundanten Messungen werden leicht abweichende Koordinaten für denselben Punkt berechnet. Da es nur eine Koordinatenposition für einen Punkt geben kann, können optimal geschätzte Koordinaten durch Berechnen eines gewichteten Durchschnitts der redundanten Messungen abgeleitet werden, wobei jede Gewichtung durch die Messgenauigkeit definiert wird. Je höher die Genauigkeit der Messung ist, desto höher ist ihre Gewichtung und desto mehr Einfluss hat sie bei der Berechnung der optimal geschätzten Koordinaten des Punktes.

Gewichtete Messungen

Die Koordinaten für Punkt Sp5 wurden mit einem gewichteten Durchschnitt berechnet.

Auch wenn der Ansatz des gewichteten Durchschnitts für die Berechnung eines einzelnen Punkts funktioniert, so reicht er nicht aus, um die Koordinaten für mehrere Punkte in einem Netzwerk, z. B. die Parcel-Fabric, zu berechnen. Die Techniken und Algorithmen in einer Anpassung der kleinsten Quadrate stellen die strengste und allgemein anerkannte Lösung für die Berechnung von Koordinaten in einem Netzwerk gewichteter Messungen bereit.

Die Anpassung mit der Methode der kleinsten Quadrate lässt sich wie folgt zusammenfassen:

  • Schätzt die statistisch optimale Lösung für die Koordinaten von Punkten in einem Netzwerk gewichteter Messungen.
  • Berechnet eine Lösung, indem ein Minimum für die Summe der Quadrate der Restklaffen gesucht wird. Eine Restklaffe ist die Menge, die benötigt wird, um einen Messwert zu korrigieren, damit er in die optimale Lösung passt.
  • Ist ein mathematisches Verfahren, das auf der Theorie der Wahrscheinlichkeit basiert. Mit ihm werden geschätzte Koordinaten mit verschiedenen Unsicherheiten berechnet.
  • Beinhaltet statistische Tests zum Analysieren und Überprüfen der Anpassungsergebnisse.

Beschränkte und freie Netzwerkanpassung mit der Methode der kleinsten Quadrate

Es gibt viele Typen der Anpassung der kleinsten Quadrate. Die Parcel-Fabric kann sowohl durch beschränkte als auch durch freie Netzwerkanpassung mit der Methode der kleinsten Quadrate angepasst werden.

Beschränkte Anpassung

Eine beschränkte Anpassung mit der Methode der kleinsten Quadrate wird für ein Messpunktnetzwerk ausgeführt, das durch Passpunkte beschränkt ist. Passpunkte sind Punkte mit bekannten X-, Y-, Z-Koordinaten. Sie können vollständig eingeschränkt sein (d. h. sie werden in der Anpassung nicht verschoben), oder sie können gewichtet sein (d. h. basierend auf der Genauigkeit ist eine gewisse Verschiebung zulässig). Steuerungspunkte können genaue, vermessene XYZ-Koordinaten für physische Features auf der Erdoberfläche darstellen. Passpunkte werden einem Messpunktnetzwerk hinzugefügt, um das Netzwerk in einem Koordinatensystem unterzubringen und als so genannte grobe Fehler bezeichnete Messfehler zu erkennen.

Weitere Informationen zu Punkten bei der Anpassungsmethode der kleinsten Quadrate

Freie Netzwerkanpassung

Eine freie Netzwerkanpassung wird nur für Messungen ausgeführt. Das Netzwerk ist dabei nicht durch Passpunkte beschränkt. Eine freie Netzwerkanpassung ausgeführt, um das Netzwerk auf grobe Messfehler zu testen, bevor die Verbindungen von Messungen zu Passpunkten hergestellt werden.

Weitere Informationen zu beschränkten und freien Netzwerkanpassungen für die Parcel-Fabric