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Funktionsweise der Werkzeuge zur Pfadentfernung

Mit der Spatial Analyst-Lizenz verfügbar.

Während die gerade Linie die euklidische, als Luftlinie gemessene Entfernung (Entfernung zwischen zwei Standorten), ist, wird mit den Werkzeugen zur Pfadentfernung die Bewegung eines Reisenden durch eine Landschaft untersucht. Mit den Werkzeugen zur Pfadentfernung wird in der Regel der kostengünstigste Pfad zwischen einer Quelle und einem Ziel erstellt, wobei die Oberflächenentfernung und die horizontalen und vertikalen Kostenfaktoren berücksichtigt werden.

Einige Beispiele für Probleme, die durch die Pfadentfernungsanalyse gelöst wurden

  • Ermitteln Sie den besten Wanderweg, um einen entfernten Standort zu erreichen.
  • Berechnen Sie die tatsächlichen Kosten und die tatsächliche Entfernung für eine vorgeschlagene Straße, wobei die Änderungen der Steigung und des Gefälles in der Landschaft ausgeglichen werden.
  • Ermitteln Sie die Route, die ein Schiff unter Berücksichtigung der Ozeanströmungen und des Windes nehmen soll.

Die allgemeine Formel für die Pfadentfernungsanalyse

Die Kosten für die Bewegung von einer Zelle zur anderen werden durch Folgendes beeinflusst:

  1. Die Oberflächeneigenschaften (die Kostenoberfläche).
  2. Die Eigenschaften des Reisenden. Hierzu kann der Reisemodus zählen, z. B. die Fortbewegung zu Fuß oder mit einem Geländefahrzeug.
  3. Die Eigenschaften der Bewegung von einer Zelle zur anderen, z. B. bergauf oder bergab.

Die allgemeine Kostenentfernungsformel lautet folgendermaßen:

Cost = Cost of travel  *  Characteristics  *  Movement characteristics       over surface       of the mover        on the surface

Die Pfadentfernungswerkzeuge enthalten die Oberflächeneigenschaften durch die Kostenoberfläche, die nachfolgend erläutert wird. Weitere Informationen zum Steuern der Eigenschaften des Reisenden in den Pfadentfernungswerkzeugen finden Sie unter Auswirkungen der Quelleneigenschaften auf die Kostenentfernungsanalyse. Anhand der Oberflächen-Raster und der horizontalen und vertikalen Faktoren in den Werkzeugen zur Pfadentfernung können Sie die Bewegungseigenschaften von Zelle zu Zelle definieren.

Berechnung der Pfadentfernung

Das Werkzeug Pfadentfernung ist das primäre Werkzeug für die Kostenentfernungsanalyse, die für horizontale und vertikale Kostenfaktoren sowie die tatsächliche Oberflächenentfernung verantwortlich ist. Das Werkzeug Pfadentfernungs-Zuordnung setzt den gleichen Algorithmus ein, aber gibt ein Raster, das die nächste Quelle für jede Zelle für jede Position bezeichnet, als primäre Ausgabe zurück. Das Werkzeug Pfadentfernungs-Rückverknüpfung identifiziert die Direktionalität des Nachbarn, der die nächste Zelle auf dem günstigsten akkumulativen Kostenpfad zur nächsten Quelle ist.

Alle Werkzeuge zur Pfadentfernung berechnen im Grunde die Ausgabe mithilfe des gleichen Algorithmus. Der wesentliche Unterschied wird von der primären Ausgabe jedes Werkzeugs bestimmt.

Die Werkzeuge zur Pfadentfernung erstellen ein Ausgabe-Raster, in dem jeder Zelle die akkumulativen Kosten der nächsten Quellenzelle zugewiesen werden. Der Algorithmus verwendet die Knoten/Link-Zellenrepräsentation. Bei dieser Repräsentation wird jeder Mittelpunkt einer Zelle als ein Knoten angesehen und jeder Knoten wird über mehrere Links mit seinen benachbarten Knoten verbunden.

Jeder Link ist mit einer Impedanz verknüpft. Die Impedanz wird von den Kosten der Zellen an jedem Ende des Links (von der Kostenoberfläche) und von der Richtung der Bewegung abgeleitet.

Zur Vereinfachung wird anhand der Formeln im folgenden Abschnitt dargestellt, wie Reisekosten zellenübergreifend nur über eine Kostenoberfläche kumuliert werden. Das Modifizieren der Kosten unter Berücksichtigung einer Oberflächenentfernung sowie horizontaler und vertikaler Faktoren wird in einem späteren Abschnitt erläutert.

Knotenreisekosten

Die Kosten, um von einem Knoten zum nächsten zu reisen, sind von der räumlichen Ausrichtung der Knoten abhängig. Die Verbindung der Zellen wirkt sich auch auf die Reisekosten aus.

Benachbarte Knotenkosten

Bei der Bewegung von einer Zelle zu einem ihrer vier direkt verbundenen Nachbarn betragen die Kosten für die Bewegung über die Links zum benachbarten Knoten 1-mal Zelle 1, plus Zelle 2, dividiert durch 2:

a1 = (cost1 + cost2) / 2
  • wobei gilt:

    cost1 – Die Kosten, um sich durch Zelle 1 zu bewegen.

    cost2 – Die Kosten, um durch Zelle 2 zu reisen.

    a1 – Die Kosten für den Link von Zelle 1 zu Zelle 2.

    Kostenberechnung für benachbarte Zellen

Akkumulative senkrechte Kosten

Die akkumulativen Kosten werden mit der folgenden Formel bestimmt:

accum_cost = a1 + (cost2 + cost3) / 2
  • wobei gilt:

    cost2 – Die Kosten, um sich durch Zelle 2 bewegen.

    cost3 – Die Kosten für die Bewegung durch Zelle 3.

    accum_cost – Die akkumulativen Kosten für die Bewegung von Zelle 1 zu Zelle 3.

In der folgenden Abbildung steht a2 für die Kosten, um sich von Zelle 2 zu Zelle 3 zu bewegen.

Kostenberechnung für nicht benachbarte Zellen

Diagonale Knotenkosten

Wenn die Bewegung diagonal erfolgt, sind die Kosten, um über den Link zu reisen, 1,414214 (oder die Quadratwurzel von 2) mal die Kosten für die Bewegung durch Zelle 1 plus die Kosten für die Bewegung durch Zelle 2, dividiert durch 2:

a1 = 1.414214(cost1 + cost2) / 2
Kostenberechnung für diagonale Zellen

Wenn Sie die akkumulativen Kosten für diagonale Bewegung bestimmen, wird die folgende Formel verwendet:

accum_cost = a1 + 1.414214(cost2 + cost3) / 2

Akkumulativen Kosten-Zellenliste

Mit Graphentheorie ein akkumulatives Kostenentfernungs-Raster zu erstellen kann als Versuch angesehen werden, die niedrigste-Kosten-Zelle zu identifizieren und sie einer Ausgabeliste hinzuzufügen. Es handelt sich hierbei um einen iterativen Prozess, der mit den Quellenzellen beginnt. Das Ziel jeder Zelle sollte dem Ausgabe-Kostenentfernungs-Raster schnell zugewiesen werden.

Vergleichen von Pfadentfernung mit Kostenentfernung

Die Verarbeitung bei der Pfadentfernung ist der bei der Kostenentfernung (siehe Wie die Kostenentfernungswerkzeuge funktionieren) ähnlich. Zuerst werden die Quellenzellen identifiziert. Dann werden die Kosten, um zu jedem Nachbarn zu reisen, der an eine Quellenzelle grenzt, bestimmt. Danach wird jede der Nachbarzellen, angefangen bei der kostengünstigsten, aufsteigend aufgelistet. Die Zellenposition mit den geringsten Kosten wird aus dieser Liste entfernt. Die niedrigsten akkumulativen Kosten zu jeder Nachbarzelle der aus der Liste entfernten Zelle werden ermittelt, und diese Positionen werden der aktiven Liste hinzugefügt. Anschließend wird die nächste Zellenposition mit den geringsten Kosten aus der aktiven Liste entfernt.

Bearbeiten der Liste für akkumulative Kostenwerte (3)

Der Prozess wird wiederholt, bis allen Zellen auf dem Raster akkumulative Kosten zugewiesen wurden. Der Unterschied zwischen den Werkzeugen zur Kostenentfernung und zur Pfadentfernung besteht darin, wie die Kosten, um sich von einer Zelle zur nächsten zu bewegen, berechnet werden.

Pfadentfernungsformel

Aus der Zellenperspektive ist die Zielsetzung der Werkzeuge zur Pfadentfernung, den kostengünstigsten Pfad zu bestimmen, um eine Zelle von der günstigsten Quelle in der Analyseausdehnung zu erreichen. Der kleinste akkumulative Kostenpfad zu einer Quelle, die Quelle mit dem kostengünstigsten Pfad, und der kostengünstigste Pfad selbst müssen für jede Zelle bestimmt werden.

Pfadentfernung

Die Kosten für die zellenübergreifende Bewegung über die Kostenoberfläche werden anhand der oben erläuterten Formeln bestimmt. Innerhalb der Pfadentfernung können diese Kosten (in den nachfolgenden Gleichungen als Cost_Surface bezeichnet) mithilfe der Oberflächenentfernung (Surface_distance) und der horizontalen und vertikalen Faktoren geändert werden. Die Formelwahl zur Berechnung der Gesamtkosten für die Bewegung von Zelle a zu Zelle b hängt davon ab, ob diese Reise senkrecht oder diagonal ist:

  • Rechtwinklig
    Cost_distance = (((Cost_surface(a) * HF(a)) + (Cost_surface(b) * HF(b)))/2)                * Surface_distance(ab) * VF(ab)
  • Diagonal
    Cost_distance = (((Cost_surface(a) * HF(a)) + (Cost_surface(b) * HF(b)))/2)                * 1.414214 * Surface_distance(ab) * VF(ab)

  • wobei gilt:

    Cost_surface(a) – Die Reisekosten für die Zelle a

    Cost_surface(b) – Die Reisekosten für die Zelle b

    HF(a) – Der horizontale Faktor für die Zelle a

    HF(b) – Der horizontale Faktor für die Zelle b

    Surface_distance(ab) – Die Oberflächenentfernung von a zu b

    VF(ab) – Der vertikale Faktor von a zu b

Beachten Sie, dass die Division der Reibung der Segmente durch 2 verzögert wird, bis der horizontale Faktor integriert wird.

Wenn keine Kostenoberfläche angegeben ist, wird als Kostenentfernung pro Einheit 1 verwendet (dies entspricht der Anwendung eines Kostenrasters, bei dem alle Werte 1 betragen). Sowohl die horizontalen als auch die vertikalen Faktoren werden auf die Entfernung pro Einheit angewendet. Negative horizontale und vertikale Faktoren sind nicht zulässig. Da beide Faktoren jedoch Multiplikatoren der akkumulativen Kosten jeder Zelle sind, reduziert ein Faktor von kleiner als 1 aber größer als 0, die Gesamtkosten der jeweiligen Zelle. Ein vertikaler Faktor von Null oder Nullwerte für beide Segmente des horizontalen Faktors ergeben einen Kostenwert von 0 für die Zelle.

Akkumulativen Kostenentfernung

Die akkumulativen Kosten, um sich von Zelle a zu Zelle c durch Zelle b zu bewegen, ergeben sich wie folgt:

Accum_cost_distance = a1 + (((Cost_surface(b) * HF(b)) + (Cost_surface(c) * HF(c)))/2)                      * Surface_distance(bc) * VF(bc)
  • wobei gilt:

    a1 – Die Gesamtkosten für die Bewegung von Zelle a zu Zelle b

    Cost_surface(b) – Die Reisekosten für die Zelle b

    Cost_surface(c) – Die Reisekosten für die Zelle c

    HF(b) – Der horizontale Faktor für die Zelle b

    HF(c) – Der horizontale Faktor für die Zelle c

    Surface_distance(bc) – Die Oberflächenentfernung von b zu c

    VF(bc) – Der vertikale Faktor von b zu c

Horizontale und vertikale Parameter

Es gibt es mehrere Arten von Parametern, mit denen Sie die horizontalen und vertikalen Reibungsfaktoren steuern können. Für jeden dieser Faktoren gibt es verschiedene Modifikatoren, die für die weitere Kontrolle über die Analyse verwendet werden können.

Weitere Informationen zu diesen Parametern finden Sie im folgenden Abschnitt:

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