Cómo funcionan las funciones de base radial

Disponible con una licencia de Geostatistical Analyst.

Las funciones de base radial (RBF) son una serie de técnicas de interpolación exacta; es decir, la superficie debe pasar por cada valor de muestra medido. Hay cinco funciones de base diferentes:

• Spline de lámina delgada
• Spline con tensión
• Spline completamente regularizada
• Función multicuádrica
• Función multicuadrática inversa

Cada función de base tiene una forma diferente y da como resultado una superficie de interpolación diferente. Los métodos de RBF son un caso especial de splines.

Las RBF son conceptualmente similares a ajustar una membrana de goma a través de los valores de muestra medidos, mientras se minimiza la curvatura total de la superficie. La función de base que seleccione determina cómo se ajustará la membrana de goma entre los valores. El siguiente diagrama ilustra conceptualmente cómo se ajusta una superficie de RBF a través de una serie de valores de muestra de elevación. Observe que, en la sección transversal, la superficie pasa por los valores de datos.

Sección transversal que ilustra cómo se ajusta la superficie de RBF a través de los valores de muestra

Al ser interpoladores exactos, los métodos de RBF difieren de los interpoladores polinómicos globales y locales, que son interpoladores inexactos que no requieren que la superficie pase por los puntos medidos. Al comparar una RBF con IDW (que también es un interpolador exacto), IDW nunca predice valores por encima del valor máximo medido ni por debajo del valor mínimo medido, como se puede ver a continuación en la sección transversal de un transecto de datos de muestra.

Ejemplo de perfil de distancia inversa ponderada

Sin embargo, las RBF pueden predecir valores por encima del valor máximo medido y por debajo del valor mínimo medido, como en la sección transversal siguiente.

Ejemplo de sección transversal de RBF

Los parámetros óptimos se determinan usando la validación cruzada de forma similar a la explicada para la IDW y la interpolación polinómica local.

Cuándo utilizar las funciones de base radial

Las RBF se utilizan para generar superficies suaves a partir de un gran número de puntos de datos. Las funciones producen buenos resultados para superficies que varían levemente, como la elevación.

Sin embargo, las técnicas no son adecuadas cuando se producen cambios grandes en los valores de la superficie en distancias cortas, o cuando sospecha que los datos de muestra son propensos a un error de medición o incertidumbre.

Conceptos relacionados con las funciones de base radial

En Geostatistical Analyst, las RBF se forman sobre cada ubicación de datos. Una RBF es una función que cambia con la distancia a una ubicación.

Funciones RBF de ubicaciones diferentes

Por ejemplo, supongamos que la función de base radial es simplemente la distancia a cada ubicación, de modo que forma un cono invertido sobre cada ubicación. Si toma una sección transversal del plano x,z para y = 5, verá una porción de cada función de base radial. Ahora, supongamos que desea predecir un valor en y = 5 y x = 7. El valor de cada función de base radial en la ubicación de predicción se puede obtener de la figura anterior, mediante los valores Φ₁, Φ₂ y Φ₃, que simplemente dependen de la distancia a cada ubicación de datos. El predictor se forma tomando el promedio ponderado w₁Φ₁ + w₂Φ₂ + w₃Φ₃ + …

Ahora la cuestión es cómo determinar las ponderaciones. Hasta el momento, no ha usado los valores de datos en absoluto. Las ponderaciones w₁, w₂, w₃, etc., se hallan al requerir que, cuando la predicción se mueva a una ubicación con un valor medido, el valor de los datos se prediga con exactitud. Con ello, se forman N ecuaciones con N desconocidos que se pueden resolver de forma única. De este modo, la superficie pasa por los valores de datos y las predicciones son exactas.

La función de base radial de este ejemplo es un caso especial de RBF multicuadrática. Geostatistical Analyst también le permite usar otras RBF, como splines totalmente regularizados, splines de lámina delgada, splines con tensión y multicuadrática inversa. A veces, la diferencia entre ellas no es muy grande, pero puede tener motivos para elegir una o puede probar varias y usar la validación cruzada para seleccionar una. Cada una de las RBF tiene un parámetro que controla la suavidad de la superficie.

En todos los métodos, excepto el multicuadrático inverso, cuanto mayor sea el valor del parámetro, más suave será el mapa; en el multicuadrático inverso, ocurre lo contrario.