¿Qué distintos modelos de kriging existen?

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Los métodos de kriging se basan en modelos matemáticos y estadísticos. Los métodos de kriging se distinguen de los métodos determinísticos descritos en Métodos determinísticos para la interpolación espacial porque incorporan un modelo estadístico que engloba probabilidad. Con el kriging, se asocia cierta probabilidad a las predicciones; es decir, los valores no son perfectamente predecibles a partir de un modelo estadístico. Plantéese el ejemplo de una muestra de valores de nitrógeno medidos en un campo. Obviamente, incluso con una muestra grande, no podrá predecir el valor exacto de nitrógeno de una ubicación de la que no existen mediciones. Por tanto, no solo trata de predecirlo, sino que también evalúa el error de la predicción.

Los métodos de kriging se basan en la noción de la autocorrelación. Por lo general, se considera que la correlación es la tendencia de dos tipos de variables a relacionarse. Por ejemplo, el mercado de valores tiende a presentar variaciones al alza cuando existen tipos de interés menores, por lo que se dice que estas dos variables estén correlacionadas negativamente. Sin embargo, el mercado de valores está autocorrelacionado positivamente, lo que significa que tiene correlación dentro de sí mismo. En el mercado de valores, dos valores tenderán a ser más similares si están separados por una sola jornada y no por todo un año, por ejemplo. Este hecho está relacionado con un principio básico de la geografía: las cosas más cercanas tienden a ser más similares que las que están más alejadas. La tasa a la que decae la correlación puede expresarse en función de la distancia.

La autocorrelación es una función de la distancia. Se trata de una característica definitoria de la geoestadística. En la estadística clásica, se presupone que las observaciones son independientes, es decir, que no existe correlación entre observaciones. En la geoestadística, la información de las ubicaciones espaciales permite calcular distancias entre las observaciones y modelar la autocorrelación en función de la distancia.

Observe también que, en general, el mercado de valores sube con el tiempo, lo que se conoce como una tendencia. En el caso de los datos de estadísticas geográficas, se dispone de los mismos términos, que se expresan con la siguiente simple fórmula matemática:

Z(s) = µ(s) + ε(s),

donde Z(s) es la variable de interés, descompuesta en una tendencia determinística µ(s) y la forma ε(s) para los errores aleatorios autocorrelacionados. El símbolo s simplemente indica la ubicación; podría entenderse como que contiene las coordenadas espaciales x- (longitud) e y- (latitud). Las variaciones de esta fórmula constituyen el fundamento de los diferentes tipos de kriging. Empiece por la derecha y muévase a la izquierda.

Sea cual sea el grado de complejidad de la tendencia del modelo, µ(s) no es capaz de predecirla perfectamente. En este caso, se realizan ciertos supuestos acerca del término de error ε(s); en concreto, cabe esperar que sea 0 (en promedio) y que la autocorrelación entre ε(s) y ε(s + h) no dependa de la ubicación real s, sino únicamente del desplazamiento h entre ambos. Es necesario hacerlo así para garantizar la replicación y poder estimar la función de autocorrelación. Por ejemplo, en la siguiente figura:

Se presupone que los errores aleatorios de pares de ubicaciones conectados por flechas presentan la misma autocorrelación.

A continuación, examine la tendencia. Puede ser una constante simple, es decir, µ(s) = m para todas las ubicaciones y, si se desconoce µ, este es el modelo en el que se basa el kriging ordinario. También puede estar compuesta por una función lineal de las propias coordenadas espaciales, por ejemplo:

µ(s) = ß0 + ß1x + ß2y + ß3x2 + ß4y2 + ß5xy,

donde se trata de una superficie de tendencia polinómica de segundo orden y es simplemente una regresión lineal ejecutada con las coordenadas espaciales x e y. Las tendencias que varían, y donde los coeficientes de regresión son desconocidos, forman modelos para el kriging universal. Siempre que se conozca la tendencia (es decir, todos los parámetros y covariables conocidos), independientemente de si son constantes o no, forma el modelo para kriging simple.

Ahora, examine el lado izquierdo de la descomposición, Z(s) = µ(s) + ε(s). Puede realizar transformaciones en Z(s). Por ejemplo, puede cambiarlo a una variable de indicador, donde es 0 si Z(s) está por debajo de un cierto valor (por ejemplo, 0,12 ppm para la concentración de ozono) o 1 si está por encima de un cierto valor. Es posible que desee predecir la probabilidad de que Z(s) esté por encima del valor del umbral y las predicciones basadas en este modelo forman el kriging de indicador. Puede realizar transformaciones generales no especificadas de Z(s) y denominarlas f_i(Z(s_i)) para la variable número i. Puede formar indicadores de funciones de variables; por ejemplo, si desea predecir en la ubicación s₀, formará el predictor de kriging disyuntivo de g(Z(s₀)) usando los datos f_i(Z(s_i)).

Finalmente, plantéese el caso en el que tiene más de un tipo de variable y forma los modelos Z_j(s) = µj(s) + ε_j(s) para el tipo de variable número j. En este caso, puede considerar una tendencia diferente para cada variable; además de la autocorrelación para los errores, ε_j(s), también presenta correlación cruzada entre los errores ε_j(s) y ε_k(s) para los dos tipos de variables. Por ejemplo, puede tener en cuenta la correlación cruzada entre dos variables como la concentración de ozono y la importancia de las partículas, y no es necesario medirlas en las mismas ubicaciones. Los modelos basados en más de una variable de interés constituyen el fundamento del cokriging. Puede formar una variable de indicador de Z(s) y, si la predice utilizando los datos Z(s) originales sin transformar en un modelo de cokriging, obtiene un kriging de probabilidad. Si tiene más de una variable de interés, puede plantearse un cokriging ordinario, cokriging universal, cokriging simple, cokriging de indicador, cokriging de probabilidad y cokriging disyuntivo como extensiones multivariantes de los distintos tipos de kriging descritos anteriormente.