Fonctionnement des outils Flux de Darcy et Vitesse de Darcy

Disponible avec une licence Spatial Analyst.

Les outils Flux de Darcy et Vitesse de Darcy avec Suivi de particules et Concentration permettent de modéliser une advection-dispersion rudimentaire des éléments d’une nappe phréatique. L'analyse de flux de Darcy modélise les flux bidimensionnels, verticalement mélangés, horizontaux et permanents (l’altitude est indépendante de la profondeur).

Calculs de flux de Darcy

Les équations utilisées dans le calcul de flux de Darcy sont décrites dans les sections suivantes.

Calcul de la circulation et de la vitesse

• La loi de Darcy stipule que la vitesse de Darcy q en milieu poreux est calculée entre la conductivité hydraulique K et le gradient d'altitude. (la variation d'altitude par unité de longueur dans la direction du flux est un aquifère isotrope) car :

  • q = -K

    Vous pouvez calculer K d’après la transmissivité T et l’épaisseur b pour obtenir K = T/b.

  La vitesse q, exprimée en volume/temps/surface, est également appelée débit spécifique, flux volumétrique ou vitesse de filtration. Bear (1979) la définit comme étant le volume d'eau s'écoulant pas unité de temps à travers une aire de section mouillée normale dans la direction du flux.

• Etroitement associé à ce flux volumétrique, le flux de l'aquifère U est le débit par unité de largeur de l'aquifère (avec les unités de volume/temps/longueur) :

  • U = - T

  Cette construction suppose que l'altitude est indépendante de la profondeur de sorte que le flux est horizontal.

• La vitesse moyenne des liquides à l'intérieur des pores, appelée vitesse d'infiltration V, correspond à la vitesse de Darcy divisée par la porosité réelle du milieu :

  • 

• Lorsque vous utilisez la fonction Flux de Darcy, c'est cette vitesse d'infiltration V qui est calculée pour chaque cellule. Dans le cas de la cellule i,j, le flux aquifère U est calculé pour chacune des quatre parois de cellule. On prend en compte la différence entre les altitudes de deux cellules adjacentes et la moyenne harmonique des transmissivités T_i+1/2,j (Konikow et Bredehoeft, 1978) qui sont considérées comme étant isotropiques.

  Par exemple, pour le composant x de , l'équation entre i de cellules, j et i+1, j est formulée comme suit :

  • δh/δx ≈ (h_i+1 - h_i) / Δx

• Ce schéma est illustré dans les diagrammes suivants.

  

Calcul du volume résiduel

Dans le calcul des parois d'une cellule suivant, le flux de l'aquifère entre la cellule i,j et la cellule i+1,j s'écoule parallèlement à la direction x, comme suit :

• 

Pour déterminer le volume résiduel d'une nappe phréatique, le débit de cette dernière à travers la paroi de la cellule doit être calculé. Ce débit Q _x(i+1/2) est calculé d'après le flux aquifère U et la largeur de la paroi de la cellule Δy :

• Q_x(i+1/2,j) = U_x(i+1/2,j) Δy

Des valeurs similaires sont obtenues pour les quatre parois de la cellule. Ces valeurs permettent de calculer le volume résiduel de la nappe phréatique R_vol de la cellule, qui est écrit dans le raster en sortie. Cette valeur représente le surplus (ou, dans le cas d'un nombre négatif, l'insuffisance) d'eau à l'intérieur de chacune des cellules, d'après le flux net de la cellule qui est calculé comme suit :

• 

Idéalement, cette valeur résiduelle, R_vol, doit être proche de zéro. Lorsque vous examinez le raster en sortie contenant les valeurs résiduelles, prêtez attention aux valeurs éloignées de zéro. Des valeurs résiduelles positives ou négatives élevées révèlent une production ou une perte de masse, ce qui est en conflit avec le principe de continuité, et indiquent l'incohérence des données d'altitude et de transmissivité. Si vous constatez une certaine régularité dans les valeurs résiduelles positives ou négatives, cela signifie que des sources ou des cuvettes non identifiées sont présentes. Réduisez les valeurs résiduelles avant de poursuivre le processus de modélisation. En général, les corrections sont effectuées dans le champ de transmissivité de manière à réduire les valeurs résiduelles.

Calcul des vecteurs de flux

Les équations utilisées dans le flux de Darcy pour le calcul des vecteurs de flux de chacune des cellules sont condensées d'après la moyenne arithmétique du flux de Darcy pour calculer les vecteurs de chaque cellule d'après la moyenne arithmétique U_x(i-1/2,j) et U_x(i+1/2,j), divisée par la porosité de la cellule centrale n_i,j et l'épaisseur b_i,j. Vous obtenez une valeur associée à la vitesse d'écoulement V_x au centre :

• 

Il existe une équation similaire pour calculer V _y au centre :

• 

Ce centrage est effectué de manière à respecter la convention stipulant que les valeurs stockées représentent des valeurs au centre de la cellule. Ces valeurs sont converties dans la direction et la grandeur des coordonnées géographiques, pour le stockage dans les rasters de direction et de magnitude en sortie.

Dans le cas de cellules limite du raster dans lesquelles les informations sont incomplètes, les valeurs de vitesse sont simplement copiées depuis l'intérieur de la cellule la plus proche.

Valeurs de porosité

Le tableau suivant récapitule certaines des valeurs de porosité et de conductivité hydraulique pour divers milieux géologiques.

Tableau 1 : conductivités hydrauliques de milieux non consolidés

Conductivités hydrauliques de milieux consolidés, Marsily (1986).

Moyenne	K (m/s)
Gravier grossier	10^-1 - 10^-2
Sable et gravier	10^-1 - 10^-5
Sable fin, grès fin, lœss	10^-5 - 10^-9
Argile, argile schisteuse, argile à blocaux	10^-9 - 10^-13

Tableau 2 : conductivités hydrauliques de milieux consolidés

Conductivités hydrauliques de milieux consolidés, Marsily (1986).

Moyenne	K (m/s)
Chaux dolomitique	10^-3 - 10^-5
Craie décomposée	10^-3 - 10^-5
Craie décomposée	10^-6 - 10^-9
Calcaire	10^-5 - 10^-9
Grès	10^-4 - 10^-10
Granite, gneiss, basalte compact	10^-9 - 10^-13

Tableau 3 : porosité des milieux géologiques

Porosités des milieux géologiques, Marsily (1986).

Moyenne	Porosité totale
Granite et gneiss non altérés	0.0002 - 0.018
Quartzite	0.008
Argile schisteuse, ardoise, micaschiste	0.005 - 0.075
Pierre calcaire, dolomite primaire	0.005 - 0.125
Dolomite secondaire	0.10 - 0.30
Craie	0.08 - 0.37
Grès	0.035 - 0.38
Tuf volcanique	0.30 - 0.40
Sable	0.15 - 0.48
Argile	0.44 - 0.53
Bentonite, limon	jusqu'à 0,90
Terre végétale cultivée	0.45 - 0.65

D'autres valeurs tabulées de porosité et de conductivité hydraulique sont données dans les travaux de Freeze et Cherry (1979). Gelhar et al. (1992) donne un récapitulatif de la porosité et de la transmissivité de diverses formations décrites dans les ouvrages. Une discussion détaillée sur la porosité dans les matières sédimentaires est donnée dans Blatt et al. (1980). Une discussion complète sur la modélisation de l'advection-dispersion à partir de ces fonctions est présentée par Tauxe (1994).

Exemples

La séquence typique pour le modélisation de la dispersion de la nappe phréatique consiste à utiliser les outils Flux de Darcy, puis Suivi de particules, puis Concentration.

• Ci-après, voici un exemple des paramètres à configurer dans la boîte de dialogue de l'outil Flux de Darcy :

  Raster d'altitude de la nappe en entrée : head

  Raster de porosité effective de la formation en entrée : poros

  Raster d'épaisseur saturée en entrée : thickn

  Raster de transmittance de la formation en entrée : transm

  Raster de volume de la nappe en sortie : resid1

  Raster de direction en sortie : dir1

  Raster de magnitude en sortie : mag1

• Ci-après, voici un exemple des paramètres à configurer dans la boîte de dialogue de l'outil Vitesse de Darcy :

  Raster d'altitude de la nappe en entrée : head

  Raster de porosité effective de la formation en entrée : poros

  Raster d'épaisseur saturée en entrée : thickn

  Raster de transmittance de la formation en entrée : transm

  Raster de direction en sortie : dir1

  Raster de magnitude en sortie : mag1

Bibliographie

Bear, J. 1979, Hydraulics of Groundwater. McGraw-Hill. 1979

Blatt, H., G. Middleton et R. Murray. Origin of Sedimentary Rocks, 2ème édition. Prentice-Hall. 1980

Freeze, R. A. et J. A. Cherry. Groundwater. Prentice-Hall. 1979

Gelhar, L. W., C. Welty et K. R. Rehfeldt. "A Critical Review of Data on Field-Scale Dispersion in Aquifers". Water Resources Research, 28 no. 7 : 1955-1974. 1992.

Konikow, L. F. et J. D. Bredehoeft. "Computer Model of Two-Dimensional Solute Transport and Dispersion in Ground Water", USGS Techniques of Water Resources Investigations, Book 7, Chap. C2, étude géologique américaine, Washington, D.C. 1978.

Marsily, G. de. Quantitative Hydrogeology. Academic Press. 1986.

Tauxe, J. D. "Porous Medium Advection-Dispersion Modeling in a Geographic Information System". Dissertation magistrale en matière d'ingénierie civile. Université du Texas, Austin, 1994.