Fonctionnement des fonctions de base radiale

Disponible avec une licence Geostatistical Analyst.

Les fonctions de base radiale (RBF) sont une série de techniques d’interpolation précises. En d’autres termes, la surface doit traverser chaque valeur d’échantillonnage mesurée. On compte cinq fonctions de base différentes :

• Spline de plaque mince
• Spline avec tension
• Spline entièrement régularisée
• Fonction multiquadratique
• Fonction multiquadratique inverse

Chaque fonction de base présente une forme différente et produit une surface d’interpolation différente. Les méthodes RBF sont un cas particulier de splines.

En théorie, les méthodes RBF s’apparentent à l’ajustement d’une membrane caoutchoutée à travers les valeurs d’échantillonnage mesurée tout en réduisant la courbure totale de la surface. La fonction de base que vous sélectionnez détermine la façon dont la membrane caoutchoutée s’ajustera entre les valeurs. Le diagramme suivant illustre de façon théorique la façon dont une surface RBF s’ajuste à travers une série de valeurs d’échantillonnage d’élévation. Notez que dans la coupe transversale, la surface passe par les valeurs de données.

Coupe transversale illustrant la façon dont la surface RBF s’ajuste à travers les valeurs d’échantillonnage

Considérées comme précises, les méthodes RBF diffèrent des méthodes d’interpolation polynomiales globales et locales, qui sont toutes les deux de nature inexacte et qui n’exigent pas que la surface passe à travers les points mesurés. Si vous comparez une méthode RBF à IDW (qui est également une méthode d’interpolation exacte), IDW ne prévoit jamais de valeurs supérieures à la valeur mesurée maximale ou de valeurs inférieures à la valeur mesurée minimale comme vous le voyez dans la coupe transversale d’un transect de données d’échantillonnage ci-dessous.

Exemple de profil pondéré par l’inverse de la distance

Cependant, les méthodes RBF peuvent prévoir des valeurs supérieures aux valeurs mesurées maximales et des valeurs inférieures aux valeurs mesurées minimales comme dans la coupe transversale ci-dessous.

Exemple de coupe transversale RBF

Les paramètres optimaux sont déterminés à l’aide d’une validation croisée comme expliqué pour l’interpolation polynomiale locale et IDW.

Quand utiliser les fonctions de base radiale

Les fonctions de base radiale permettent de produire des surfaces lisses à partir d’un grand nombre de points de données. Elles produisent de bons résultats pour les surfaces variant doucement, telles que l’élévation.

Ces techniques sont toutefois inappropriées en cas de changements importants dans les valeurs de surface à de courtes distances et/ou lorsque vous soupçonnez que les données d’échantillonnage peuvent faire l’objet d’incertitude ou d’erreur de mesure.

Concepts inhérents aux fonctions de base radiale

Dans Geostatistical Analyst, des fonctions de base radiales se forment sur chaque localisation de données. Une fonction de base radiale évolue avec la distance par rapport à une localisation.

Fonctions RBF pour différentes localisations

Supposons par exemple que la fonction de base radiale soit simplement la distance par rapport à chaque localisation. Elle forme ainsi un cône inversé sur chaque localisation. Si vous prenez une coupe transversale du plan x,z pour y = 5, vous verrez une tranche de chaque fonction de base radiale. Supposons maintenant que vous souhaitez prévoir une valeur à y = 5 et x = 7. La valeur de chaque fonction de base radiale à la localisation de la prévision peut être tirée de la figure ci-dessus, indiquée par les valeurs Φ₁, Φ₂ et Φ₃, qui dépendent simplement de la distance par rapport à chaque localisation de données. La méthode de prévision est formée en prenant la moyenne pondérée w₁Φ₁ + w₂Φ₂ + w₃Φ₃ + …

La question suivante est : comment déterminer les pondérations ? Jusqu’à maintenant, vous n’avez pas du tout utilisé les valeurs de données. Les pondérations w₁, w₂, w₃, etc, sont identifiées en demandant que la valeur de données soit prévue de façon exacte lorsque la prévision est déplacée sur une localisation avec une valeur exacte. Cela forme N équations avec N inconnues et une résolution unique. Ainsi, la surface passe par les valeurs de données, ce qui assure l’exactitude des prévisions.

La fonction de base radiale dans cet exemple est un cas particulier de la fonction RBF multiquadratique. Geostatistical Analyst vous permet également d’utiliser d’autres fonctions RBF telles que des splines entièrement régularisées, des splines de plaque mince, des splines avec tension et la fonction multiquadratique inverse. Parfois, la différence entre ces fonctions n’est pas évidente. Vous pouvez avoir une raison valable d’une choisir une spécifique, mais vous pouvez aussi utiliser la validation croisée pour en décider. Chacune des fonctions RBF dispose d’un paramètre qui contrôle le lissage de la surface.

Pour toutes les méthodes à l’exception de la fonction multiquadratique inverse, plus la valeur du paramètre est élevée, plus la carte est lisse. L’opposé est vrai pour la fonction multiquadratique inverse.