Fonctionnement de l’outil Topo vers raster

Disponible avec une licence Spatial Analyst.

Disponible avec une licence 3D Analyst.

L’outil Topo vers raster est une méthode d’interpolation spécialement destinée à la création de modèles numériques d’altitude (MNA) hydrologiquement corrects. Il repose sur le programme ANUDEM développé par Michael Hutchinson (1988, 1989, 1996, 2000, 2011). Reportez-vous aux travaux d’Hutchinson et Dowling (1991), d’ANU Fenner School of Environment and Society et de Geoscience Australia (2008) pour découvrir quelques exemples d’application d’ANUDEM dans le cadre de la génération de MNA au niveau d’un continent. Les applications de MNA à la modélisation environnementale sont traitées dans les travaux d’Hutchinson et Gallant (2000) et d’Hutchinson (2008). Des études plus approfondies d’ANUDEM sont présentées dans les travaux d’Hutchinson et al. (2009, 2011). La version 5.3 d’ANUDEM est actuellement utilisée dans ArcGIS.

Topo vers raster interpole les valeurs d’altitude d’un raster en imposant des contraintes pour garantir :

• une structure de drainage qui soit connectée,
• la représentation correcte des crêtes et des cours d’eau à partir des données d’isolignes en entrée.

Ainsi, il s’agit de l’unique interpolateur d’ArcGIS conçu particulièrement pour s’appliquer intelligemment à des entrées d’isolignes.

L’outil Topo vers raster par fichier est très apprécié, car il permet d’exécuter plusieurs fois l’outil Topo vers raster. En effet, il est souvent plus facile de modifier une seule entrée dans le fichier de paramètres et de ré-exécuter l’outil que de renseigner à chaque fois la boîte de dialogue de l’outil.

Le processus d’interpolation

Le processus d’interpolation a été conçu pour tirer parti des types de données en entrée couramment disponibles et des caractéristiques connues des surfaces d’altitude. Cette méthode repose sur une technique d’interpolation de différence finie itérative. Elle est optimisée pour garantir l’efficacité des calculs des méthodes d’interpolation locale, comme la méthode de pondération par l’inverse de la distance (IDW), sans perdre la continuité de la surface des méthodes d’interpolation globale, telles que la méthode de krigeage ou de spline. Il s’agit essentiellement d’une technique de spline d’une plaque fine discrétisée (Wahba, 1990) pour laquelle la pénalité de rugosité a été modifiée de manière à permettre au MNT ajusté de suivre les variations brusques du terrain, comme des cours d’eau, des crêtes et des falaises.

L’eau est le principal facteur érosif déterminant la forme générale de la plupart des paysages. Pour cette raison, la majorité des terrains présentent de nombreux sommets (valeurs maximales locales) et peu de cuvettes (valeurs minimales locales), engendrant ainsi une structure de drainage connectée. L’outil Topo vers raster repose sur les surfaces connues et impose des contraintes au processus d’interpolation qui génère une structure de drainage connectée et une représentation correcte des crêtes et des cours d’eau. Cette condition de drainage imposée génère des surfaces de très haute précision avec moins de données en entrée. La quantité de données en entrée peut être inférieure à celle normalement requise pour décrire convenablement une surface avec des isolignes numérisées, ce qui permet de réduire les coûts associés à l’obtention de MNA fiables. En outre, la condition de drainage globale élimine quasiment les opérations de mise à jour ou de post-traitement liées à la suppression de cuvettes fictives sur la surface générée.

Le programme agit prudemment lorsqu’il supprime les cuvettes et n’impose pas de conditions de drainage sur des emplacements qui seraient en conflit avec les données d’altitude en entrée. De tels emplacements apparaissent normalement sous forme de cuvettes dans le fichier de diagnostic. Utilisez ces informations pour corriger les erreurs de données, notamment lors du traitement de jeux de données volumineux.

Le processus d’application du drainage

Le processus d’application du drainage permet de supprimer toutes les cuvettes du MNA en sortie qui n’ont pas été identifiées en tant que telles dans le jeu de données d’entité cuvettes en entrée. Le programme part de l’hypothèse que toutes les cuvettes non identifiées sont des erreurs dans la mesure où elles sont en principe rares dans les paysages naturels (Goodchild et Mark, 1987).

L’algorithme d’application du drainage tente de supprimer les cuvettes fictives en modifiant le MNA, en devinant la présence de lignes de drainage via le point d’échancrure le plus bas de la zone de drainage avoisinant chaque cuvette fictive. Il n’essaie pas de supprimer les cuvettes réelles fournies par la fonction Cuvettes. Puisque la suppression des cuvettes dépend de la tolérance d’altitude, le programme agit prudemment lorsqu’il supprime les cuvettes fictives. En d’autres termes, il ne supprime pas des cuvettes fictives qui seraient en conflit avec les données d’altitude en ne dépassant pas la valeur de tolérance 1.

L’application du drainage peut également être complétée par l’incorporation de données linéaires de cours d’eau. Cela est utile lorsqu’un placement des cours d’eau plus précis est nécessaire. Les effluents sont modélisés en autorisant deux directions d’écoulement vers le bas par cellule.

La fonction de drainage peut être désactivée, auquel cas la suppression des cuvettes est ignorée. Cela peut s’avérer utile si vous avez des données d’isolignes autres que des données d’altitude, par exemple de température, pour lesquelles vous souhaitez générer une surface.

Utilisation des données d’isolignes

Au départ, les isolignes constituaient la méthode la plus courante pour stocker et présenter des données d’altitude. Il s’est malheureusement avéré que cette méthode était également la plus difficile à utiliser avec les techniques d’interpolation générales. L’inconvénient réside principalement dans le fait que les informations sont sous-échantillonnées entre les isolignes, notamment dans les zones de bas relief.

Au début du processus d’interpolation, l’outil Topo vers raster s’appuie sur des informations inhérentes aux isolignes pour générer un modèle de drainage généralisé initial. Pour ce faire, il identifie les points de courbure maximale locale dans chaque isoligne. Un réseau de cours d’eau et de crêtes curvilignes formant une intersection avec ces points est ensuite obtenu à l’aide de la grille d’altitude initiale (Hutchinson, 1988). Les emplacements de ces lignes font l’objet d’une mise à jour itérative en même temps que les altitudes de MNA. Ces informations sont utilisées pour garantir l’exactitude des propriétés hydrogéomorphiques du MNT en sortie et permettent également de vérifier l’exactitude du MNT en sortie.

Les points de données d’isolignes sont également utilisés dans l’interpolation des valeurs d’altitude à chaque cellule. Toutes les données d’isolignes sont lues et généralisées. 100 points de données au maximum sont lus à partir de ces isolignes dans chaque cellule, la valeur d’altitude moyenne étant utilisée comme point de données d’altitude unique pour chaque cellule formant une intersection avec les données de lignes d’isolignes. A chaque résolution de MNA, un seul point critique est utilisé pour chaque cellule. Pour cette raison, il serait redondant d’avoir une densité d’isolignes avec plusieurs isolignes traversant les cellules en sortie.

Une fois la morphologie générale de la surface déterminée, les données d’isolignes sont également exploitées dans l’interpolation des valeurs d’altitude de chaque cellule.

Lorsque les données d’isolignes sont utilisées pour interpoler des informations d’altitude, elles sont toutes lues et généralisées. Cinquante points de données au maximum sont lus à partir de ces isolignes dans chaque cellule. A la résolution finale, seul un point critique est utilisé pour chaque cellule. Pour cette raison, il serait redondant d’avoir une densité d’isolignes avec plusieurs isolignes traversant les cellules en sortie.

Utilisation des données de lac

Dans les versions précédentes de l’outil Topo vers raster, les polygones de lac étaient de simples masques qui définissaient l’altitude de chaque surface de lac comme l’altitude minimale de toutes les valeurs de MNA dans le voisinage immédiat du lac. L’algorithme de limite du lac a été mis à niveau pour permettre de déterminer automatiquement les hauteurs des lacs qui sont entièrement compatibles avec les lignes d’écoulement de connexion et les valeurs d’altitude voisines.

La méthode de limite de lac révisée traite également chaque limite de lac comme une isoligne d’altitude inconnue et évalue de manière itérative l’altitude de cette isoligne à partir des valeurs de cellule sur la limite du lac. Parallèlement, l’altitude de chaque limite de lac est conforme aux altitudes de n’importe quel lac en amont ou en aval. L’altitude de chaque limite de lac respecte également les valeurs de MNA voisines. Les valeurs de cellule immédiatement à l’extérieur du lac se situent au-dessus de l’altitude de la limite du lac et les valeurs de cellule à l’intérieur du lac se situent au-dessous de l’altitude de la limite du lac.

Les limites de lac peuvent inclure des îles au milieu des lacs et des lacs au milieu des îles. Toutes les valeurs de MNT qui se situent à l’intérieur des lacs, telles qu’elles sont déterminées par les polygones de limite de lac, sont définies en tant que hauteur estimée du MNT sur la limite du lac.

Utilisation des données de falaise

Les lignes de falaise autorisent une interruption complète de la continuité entre les valeurs de cellules voisines de chaque côté des lignes de falaise de données lors de leur intégration au raster en sortie. Les lignes de falaise doivent être des lignes dirigées, le côté le plus bas de chaque ligne de falaise se trouvant à gauche et le côté le plus élevé à droite. Vous pouvez ainsi supprimer les points de données d’altitude qui se trouvent du mauvais côté des falaises lors de leur intégration au raster, et mieux placer les falaises par rapport aux cours d’eau.

Il apparaît également que les légers déplacements imposés aux cours d’eau et aux falaises lors de leur intégration au raster peuvent entraîner des interactions parasites entre ces données. Une méthode automatisée a donc été développée pour repositionner légèrement les cours d’eau et les lignes de falaise dans le raster afin de minimiser ces interactions parasites.

Utilisation des données de littoral

Les cellules du MNA en sortie final qui se trouvent à l’extérieur des polygones spécifiés par cette classe d’entités surfacique sont définies sur une valeur spéciale déterminée en interne qui est inférieure à la limite de hauteur minimale spécifiée par l’utilisateur. Cela signifie que vous pouvez utiliser un polygone côtier complet comme entrée et qu’il sera automatiquement découpé selon l’étendue de traitement.

Interpolation multi-résolution

Le programme repose sur une méthode d’interpolation multi-résolution, en commençant par un raster grossier, puis en appliquant une résolution plus élevée, définie par l’utilisateur. A chaque niveau de résolution, les conditions de drainage sont appliquées, l’interpolation est effectuée et le nombre de cuvettes restantes est enregistré dans le fichier de diagnostic en sortie.

Traitement des données de cours d’eau

L’outil Topo vers raster exige que tous les arcs des données de réseau des cours d’eau soient dirigés vers le bas de la pente et qu’aucun polygone (lac) ne soit présent dans le réseau.

Les données de cours d’eau doivent se composer d’arcs uniques disposés selon un motif dendritique, et les rives de cours d’eau parallèles et les polygones de lac, par exemple, doivent être supprimés lors d’une mise à jour interactive. Lorsque vous modifiez des polygones de lac en dehors du réseau, un arc unique doit être placé du début à la fin de la zone de plan d’eau. L’arc doit suivre la trajectoire d’un lit de cours d’eau historique, s’il en existe un. Si l’altitude du lac est connue, son polygone et son altitude peuvent être utilisés comme une entrée .Isoligne.

Création et mosaïquage de rasters adjacents

Il est parfois nécessaire de créer des MNA à partir de tuiles adjacentes de données en entrée. En principe, cela se passe lorsque les entités en entrée sont dérivées d’une série de cartes ou qu’en raison de limitations de mémoire, les données en entrée doivent être traitées en plusieurs parties.

Le processus d’interpolation utilise les données en entrée des zones avoisinantes pour définir la morphologie et le drainage de la surface et interpoler les valeurs en sortie. Toutefois, les valeurs de cellule sur les tronçons de tout MNT en sortie ne sont pas aussi fiables que dans la zone centrale, car ceux-ci sont interpolés avec la moitié moins d’informations.

Pour que les prévisions soient exactes sur les tronçons de la zone d’intérêt, l’étendue des jeux de données en entrée doit être supérieure à celle de la zone d’intérêt. Le paramètre Margin in cells (Marge dans les cellules) fournit une méthode de rognage des tronçons du MNA en sortie, basée sur une distance définie par l’utilisateur. Les tronçons des zones qui se chevauchent doivent être large d’au moins 20 cellules.

Une superposition des données en entrée devrait se produire dans les zones adjacentes lorsque plusieurs MNA en sortie sont combinés en un seul raster. Sans cette superposition, les tronçons des MNA combinés ne sont pas toujours lisses. Les étendues des jeux de données en entrée de chacune des interpolations doivent disposer d’une plus grande surface que si vous souhaitiez uniquement réaliser une interpolation pour une interpolation unique, afin de s’assurer que les tronçons pourront être devinés le plus précisément possible.

Une fois les MNA créés, ils peuvent être combinés efficacement à l’aide de l’outil de géotraitement Mosaïque avec les options Fusionner ou Moyenne. Cette fonction propose des options de traitement des zones superposées pour améliorer la transition entre les jeux de données.

Evaluation de la sortie

Toute surface créée mérite d’être évaluée pour s’assurer que les données et les paramètres définis dans le programme génèrent une représentation réaliste de la surface. Plusieurs méthodes permettent d’évaluer la qualité d’une surface en sortie, en fonction du type d’entrée disponible pour créer la surface.

La plus courante consiste à créer des isolignes à partir de la nouvelle surface à l’aide de l’outil Isoligne et à les comparer aux données d’isolignes en entrée. Il est préférable de créer ces nouvelles isolignes à la moitié de l’intervalle d’isoligne d’origine pour vérifier les résultats entre les isolignes. En dessinant les isolignes d’origine par-dessus les nouvelles isolignes, vous aurez plus de facilité à identifier les erreurs d’interpolation.

Une autre méthode de comparaison visuelle consiste à comparer la couverture de drainage en sortie facultative à des cours d’eau et crêtes connus. La classe d’entités de drainage contient les cours d’eau et les crêtes qui ont été générés par le programme durant le processus d’application du drainage. Ces cours d’eau et crêtes doivent coïncider avec ceux qui sont connus dans la zone. Si une classe d’entités cours d’eau a été utilisée comme entrée, les cours d’eau en sortie doivent coïncider parfaitement avec ceux en entrée, même s’ils ont été légèrement plus généralisés.

Une méthode courante d’évaluation de la qualité d’une surface générée consiste à retirer un pourcentage des données en entrée du processus d’interpolation. Après avoir généré la surface, la hauteur de ces points connus peut être soustraite de la surface créée pour examiner le degré de similitude entre la nouvelle surface et la surface réelle. Les différences peuvent être utilisées pour calculer une mesure d’erreur pour la surface ; par exemple, l’erreur quadratique moyenne (EQM).

L’outil Topo vers raster utilise un ensemble complet de procédures pour évaluer la qualité du MNA ajusté, optimiser la résolution du MNA et détecter d’éventuelles erreurs dans les données en entrée.

• Le Output diagnostic file (fichier de diagnostic en sortie) facultatif peut être utilisé pour évaluer le degré d’efficacité des paramètres de tolérance à supprimer les cuvettes dans les données en entrée. La diminution des valeurs des tolérances peut faire en sorte que le programme soit moins agressif dans la suppression des cuvettes.

• La classe Output remaining sink point feature (entités ponctuelles de cuvettes résiduelles en sortie) contient les emplacements de toutes les cuvettes parasites résiduelles. Vous devez rechercher la présence éventuelle d’erreurs dans toutes les données topographiques en entrée de cette classe d’entités et des entités polylignes d’écoulement en sortie.

• La classe Output residual point feature (entités ponctuelles résiduelles en sortie) contient les emplacements de toutes les valeurs résiduelles de données d’altitude élevées telles que mises à l’échelle par l’erreur de discrétisation locale. Les valeurs résiduelles élevées mises à l’échelle indiquent des conflits entre les données d’altitude en entrée et les données linéaires de cours d’eau. Cela peut également être dû à de mauvaises drainages automatiques. Pour résoudre ces conflits, commencez par rechercher des erreurs dans les données en entrée et, le cas échéant, corrigez-les, puis ajoutez des données linéaires de cours d’eau et/ou d’altitude de point. Les valeurs résiduelles élevées non mises à l’échelle signalent généralement des erreurs d’altitude en entrée.

• La classe Output contour error point feature (entités ponctuelles d’erreur d’isolignes en sortie) contient les emplacements des points sur des isolignes en entrée avec des valeurs résiduelles fortement influencées par le MNA ajusté. Une valeur d’erreur (ErrorValue) égale à 1 indique généralement l’emplacement de points où les isolignes d’altitudes différentes se rejoignent. Cela indique clairement une erreur d’étiquette d’isoligne.

• La classe Output stream and cliff error point feature (entités ponctuelles d’erreur de cours d’eau et de falaise en sortie) est un indicateur important de la qualité des données linéaires des cours d’eau et des falaises qui signale notamment les erreurs de direction des cours d’eau et des falaises. Une vérification systématique s’impose.

  La classe d’entités comporte les codes suivants :

  1. Circuit réel dans le réseau des données linéaires de cours d'eau des données.

  2. Circuit dans le réseau de cours d'eau tel qu'il est codé dans le raster en sortie.

  3. Circuit dans le réseau hydrographique via des lacs connectés.

  4. Points des effluents.

  5. Cours d'eau au-dessus d'une falaise (cascade).

  6. Points indiquant plusieurs débordements de cours d'eau provenant de lacs.

  7. Code inutilisé.

  8. Points à proximité de falaises dont la hauteur ne correspond pas à la direction de la falaise.

  9. Code inutilisé.

  10. Effluent circulaire supprimé.

  11. Effluent sans arrivée d'eau.

  12. Effluent tramé de la cellule en sortie différent de l'endroit où commence l'effluent .

  13. Erreur de traitement des conditions - indicateur de données de lignes d'écoulement très complexes.

• La classe Output stream polyline feature (entités polylignes d’écoulement en sortie) contient toutes les contraintes de drainage imposées par l’outil Topo vers raster telles qu’elles sont déterminées par les données linéaires de cours d’eau en entrée, les lignes d’écoulement et les lignes de crête déduites à partir des données d’isolignes et des lignes d’écoulement obtenues par drainage automatique. Vous pouvez rechercher la présence éventuelle d’erreurs d’emplacement dans les lignes d’écoulement en entrée et vous assurer de l’adéquation avec les contraintes associées aux lignes d’écoulement en entrée et aux drainages automatiques. Un code différent est attribué à chaque type de ligne d’écoulement dérivée. Les lignes d’écoulement qui coupent des lignes de falaise sont indiquées par des lignes d’écoulement courtes, chaque cellule ayant un code distinct. La classe d’entités inclut également des lignes signalant les marges élevées de données d’altitude source suite à la connexion de lignes d’écoulement et de lacs qui dépassent la deuxième tolérance d’altitude. Cela permet d’indiquer les erreurs de données d’altitude source.

  Les entités polylignes sont codées comme suit :

  1. Ligne d'écoulement en entrée ne dépassant pas la falaise.

  2. Ligne d'écoulement en entrée dépassant la falaise (cascade).

  3. Application du drainage pour supprimer une cuvette fictive.

  4. Ligne d'écoulement déterminée à partir de l'angle de l'isoligne.

  5. Ligne de dorsale déterminée à partir de l'angle de l'isoligne.

  6. Code inutilisé.

  7. Data stream line side conditions.

  8. Code inutilisé.

  9. Ligne indiquant des marges élevées de données d'altitude.

Représentation incorrecte des isolignes

L’algorithme d’interpolation commet des erreurs mineures qui font que les isolignes en entrée sont représentées en excès sur la surface en sortie. Ces erreurs peuvent engendrer un léger aplatissement de la surface en sortie à son intersection avec l’isoligne. Ces erreurs peuvent fausser les résultats lorsque vous calculez la courbure de profil de la surface en sortie, mais restent autrement négligeables.

Causes possibles des problèmes rencontrés avec l’outil Topo vers raster

Si vous rencontrez des problèmes lors de l’exécution de l’outil Topo vers raster, vérifiez les points suivants pour obtenir des explications et des solutions aux questions les plus courantes.

• Les ressources système disponibles sont insuffisantes. Durant le traitement, les algorithmes utilisés dans l’outil Topo vers raster stockent en mémoire un nombre d’informations aussi important que possible. Cela permet un accès simultané aux données de points, d’isolignes, de cuvettes, de cours d’eau et de lacs. Pour faciliter le traitement de jeux de données volumineux, nous vous conseillons de fermer toutes les applications inutiles avant de lancer l’outil, de manière à libérer de la mémoire RAM physique. Vous devez également vous assurer que l’espace d’échange système est suffisant sur le disque.
• L’entrée d’isolignes ou de points peut être trop dense pour la taille de cellule en sortie définie. Si une cellule en sortie couvre plusieurs isolignes ou points en entrée, l’algorithme risque de ne pas être en mesure de déterminer une valeur pour cette cellule. Pour résoudre ce problème, mettez en œuvre l’une des solutions suivantes :
  • Réduisez la taille de cellule, puis ré-échantillonnez la plus grande taille de cellule après Topo vers raster.
  • Rastérisez les plus petites sections des données en entrée à l’aide des fonctions Output extent (Etendue en sortie) et Margin in cells (Marge dans les cellules). Assemblez les composants raster obtenus à l’aide de l’outil Mosaïque.
  • Cliquez sur les données en entrée dans les sections superposées et appliquez l’outil Topo vers raster séparément à chaque section. Assemblez les composants raster obtenus à l’aide de l’outil Mosaïque.
• L’application d’un interpolateur de surface n’est peut-être pas cohérente avec le jeu de données en entrée. Par exemple, si des cuvettes ont été entrées avec plus de points qu’il n’y a de cellules dans le raster en sortie, l’outil échouera. Des échantillonnages denses de sources de données (par exemple, des données lidar) peuvent présenter des problèmes similaires. L’utilisation de l’option Ne pas appliquer peut vous aider à les résoudre, mais vous devez maîtriser le fonctionnement de l’interpolateur pour l’utiliser correctement.

Bibliographie

ANU Fenner School of Environment and Society and Geoscience Australia, 2008. GEODATA 9 Second DEM and D8 Digital Elevation Model and Flow Direction Grid, User Guide. Geoscience Australia, 43 pp.Voir : http://www.ga.gov.au/image_cache/GA11644.pdf.

Goodchild, M. F. et D. M. Mark. 1987. The fractal nature of geographic phenomena. Annals of Association of American Geographers. 77 (2): 265–278.

Hutchinson, M. F. 1988. Calculation of hydrologically sound digital elevation models. Document présenté au Third International Symposium on Spatial Data Handling qui s'est tenu à Sidney, Australie.

Hutchinson, M. F. 1989. A new procedure for gridding elevation and stream line data with automatic removal of spurious pits. Journal of Hydrology, 106: 211–232.

Hutchinson, M. F. et T. I. Dowling. 1991. A continental hydrological assessment of a new grid-based digital elevation model of Australia. Hydrological Processes 5: 45–58.

Hutchinson, M. F. 1993. Development of a continent-wide DEM with applications to terrain and climate analysis. Dans Environmental Modeling with GIS, ed. M. F. Goodchild et al., 392–399. New York: Oxford University Press.

Hutchinson, M. F. 1996. A locally adaptive approach to the interpolation of digital elevation models. Proceedings, Third International Conference/Workshop on Integrating GIS and Environmental Modeling. Santa Barbara, CA: National Center for Geographic Information and Analysis. Voir : http://www.ncgia.ucsb.edu/conf/SANTA_FE_CD-ROM/sf_papers/hutchinson_michael_dem/local.html.

Hutchinson, M.F. 2000. Optimising the degree of data smoothing for locally adaptive finite element bivariate smoothing splines. ANZIAM Journal 42(E): C774–C796.

Hutchinson, M.F. et Gallant, J.C. 2000. Digital elevation models and representation of terrain shape. J.P. Wilson and J.C. Gallant (eds) Terrain Analysis. Wiley, New York, pp. 29–50.

Hutchinson, M.F. 2008. Adding the Z-dimension. J.P. Wilson et A.S. Fotheringham (eds), Handbook of Geographic Information Science, Blackwell, pp 144–168.

Hutchinson, M.F., Stein, J.A., Stein, J.L. et Xu, T. 2009. Locally adaptive gridding of noisy high resolution topographic data. In Anderssen, R.S., R.D. Braddock et L.T.H. Newham (eds) 18th World IMACS Congress. Modelling and Simulation Society of Australia and New Zealand and International Association for Mathematics and Computers in Simulation, July 2009, pp. 2493–2499. Voir : http://www.mssanz.org.au/modsim09/F13/hutchinson.pdf.

Hutchinson, M.F., Xu, T. et Stein, J.A. 2011. Recent Progress in the ANUDEM Elevation Gridding Procedure. Dans : Geomorphometry 2011, edité par T. Hengel, I.S. Evans, J.P. Wilson et M. Gould, pp. 19–22. Redlands, California, USA. Voir : http://geomorphometry.org/HutchinsonXu2011.

Wahba, G. 1990. Spline models for Observational data. Essai présenté lors d’une série de conférences régionales du CBMS-NSF sur les Mathématiques appliquées. Philadelphia: Soc. Ind. Appl. Maths.