Distributions normales bivariées

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Le krigeage disjonctif exige que les données proviennent d’une distribution normale bivariée. En outre, le développement de cartes des probabilités et de quantiles repose sur l’hypothèse que les données proviennent d’une distribution normale multivariée complète. Pour rechercher une distribution normale univariée, vous pouvez utiliser l’histogramme (cela ne garantit pas que les données proviennent d’une distribution normale multivariée complète, mais il est souvent raisonnable de supposer que c’est le cas si des distributions normales univariées sont détectées avec ce diagramme).

Considérez la déclaration de probabilité suivante :

f(p,h) = Prob[Z(s) ≤ zp, Z(s + h) ≤ zp],

où z_p est le quantile normal standard pour une probabilité p.

Par exemple, un quantile normal standard connu se produit lorsque p = 0.975, puis z_p = 1.96, et lorsque p = 0.5, puis z_p = 0, et lorsque p = 0.025, puis z_p = -1.96. La déclaration de probabilité ci-dessus prend une variable Z à la localisation s et une autre variable Z à une autre localisation s + h et donne la probabilité qu’elles sont toutes les deux inférieures à z_p. Cette déclaration de probabilité est une fonction f(p,h) qui dépend de p (et par conséquent z_p) et h. La fonction dépendra également du degré d’autocorrélation entre Z(s) et Z(s + h).

Supposons que Z(s) et Z(s + h) ont une distribution normale bivariée. Si l’autocorrélation est connue, il existe des formules pour f(p,h). Supposons que h est constant et que seul p change. La fonction ressemblerait alors à ceci :

La deuxième figure ressemble à une distribution cumulative des probabilités. Supposons maintenant que p est fixe et que f(p,h) change avec h.

D’abord, supposons que la valeur h est très petite. Dans ce cas, Prob[Z(s) ≤ z_p, Z(s + h) ≤ z_p] est très semblable à Prob[Z(s) ≤ z_p] = p. Ensuite, supposons que la valeur h est très grande. Dans ce cas, Prob[Z(s) ≤ z_p, Z(s + h) ≤ z_p] est très semblable à Prob[Z(s) ≤ z_p] Prob[Z(s + h) ≤ z_p] = p² (car Z(s) et Z(s + h) sont très proches de l’indépendance). Ainsi, pour p fixe, vous vous attendez à ce que f(p,h) varie entre p et p². Considérons maintenant f(p,h) comme une fonction de p et de la longueur de h, vous pouvez observer quelque chose de similaire à la figure suivante :

Cette fonction peut être convertie en fonctions de semi-variogrammes et de covariance pour les indicatrices. Si vous notez que Prob[Z(s) ≤ z_p, Z(s + h) ≤ z_p] = E[I(Z(s) ≤ z_p)xI(Z(s + h) ≤ z_p)], où I(déclaration) est la fonction d’indicatrices (elle est égale à 1 si déclaration est vraie, sinon, elle est égale à 0), la fonction de covariance des indicatrices pour p fixe est

CI(h;p) = f(p,h) –p2,

et le semi-variogramme des indicatrices pour p fixe est

γI(h;p) = p - f(p,h).

Par conséquent, vous pouvez estimer la fonction de semi-variogramme et de covariance sur les indicatrices des données d’origine et utiliser ces informations pour obtenir les fonctions de semi-variogrammes et de covariance attendues des indicatrices pour différentes valeurs de p.

En savoir plus sur les fonctions de semi-variogrammes et de covariance