Оценка моделей взаимной ковариации для кокригинга

Доступно с лицензией Geostatistical Analyst.

Когда необходимо использовать кокригинг для нескольких наборов данных, нужно разработать модели для взаимной ковариации. Поскольку имеется несколько наборов данных, следите за переменными с нижними индексами, где Zk(sj) задает случайную переменную для k-го типа данных в местоположении si. Функция взаимной ковариации между k и m типами данных определяется следующим образом:

C км (si,sj) = cov(Zk(si), Zм(sj))

Здесь имеется скрытый и часто сбивающий с толку аспект: функция C km (si ,sj) может быть асимметричной: C km (si,sj) ≠ C mk (si ,sj) (обратите внимание на переставленные нижние индексы). Чтобы узнать причину этого, рассмотрим следующий пример. Пусть имеются данные, организованные в одном измерении, вдоль линии, например:

Cross-covariance

Переменные типов 1 и 2 расположены вдоль линии с равными интервалами; утолщенная красная линия показывает максимальную взаимную ковариацию, зеленая линия – меньшую взаимную ковариацию, тонкая синяя линия – минимальную взаимную ковариацию, а нулевая взаимная ковариация не выделена. Согласно приведенному рисунку, Z1(si) и Z2(sj) имеют максимальную взаимную ковариацию, когда si = sj и взаимная ковариация уменьшается по мере увеличения расстояния между si и sj. В данном примере C km (si ,sj ) = C mk (si ,sj ). Однако возможен «сдвиг» взаимной ковариации:

Взаимная ковариация

Обратите внимание, что C12(s2,s3) теперь имеет минимальную взаимную ковариацию (показана тонкой синей линией), а C21(s2,s3) – максимальную взаимную ковариацию (показана утолщенной красной линией), поэтому C km (si ,sj) ≠ C mk (si ,sj). Относительно Z1 взаимная ковариация Z2 сдвинута на -1 единицу. В двух измерениях ArcGIS Geostatistical Analyst Extension определяет любой сдвиг во взаимной ковариации между двумя наборами данных, если щёлкнуть на параметрах сдвига.

Эмпирические взаимные ковариации рассчитываются следующим образом:

Среднее [ (z1(si) - Z-bar1) (z2(sj) - Z-bar2)]

где Zk(si) является измеренным значением для k- набора данных в местоположении si ,Z-bark является средним для kго набора данных, и среднее берется для всех значений si и sj, находящихся на определенном расстоянии и под определенным углом. Как и в случае вариограмм, ArcGIS Geostatistical Analyst Extension отображает и эмпирические, и подобранные модели для взаимной ковариации.

При выборе различных моделей взаимной ковариации, использовании составных моделей взаимной ковариации и выборе анизотропии теоретическая модель изменяется. Можно предварительно выбрать модель, проверив ее согласованность с эмпирическими значениями. Изменение размера лага и количества лагов, а также добавление сдвига изменяют эмпирическую поверхность взаимной ковариации, что приводит к соответствующим изменениям в теоретической модели. ArcGIS Geostatistical Analyst Extension использует значения по умолчанию, но можно пробовать различные значения и применять обычную и взаимную проверки для выбора лучшей модели.