Как работает инструмент Параметры поверхности

Доступно с лицензией Spatial Analyst.

Доступно с лицензией 3D Analyst.

Инструмент Параметры поверхности, вычисляющий параметры растровой поверхности, такие как экспозиция, уклон и кривизна.

Экспозиция

Параметр Экспозиция определяет направление, куда обращен уклон склона. Значения всех ячеек выходного растра указывают компасное направление, к которому обращена поверхность в этом местоположении. Оно измеряется по часовой стрелке в градусах от 0 (север) до 360 (снова север), проходя полный круг. Плоским областям, не имеющим направления вниз по склону, дается значение -1.

На следующем рисунке показан входной набор данных высот и выходной растр экспозиции.

Применения экспозиции

С типом параметра Экспозиция вы можете сделать следующее:

• Найти все направленные на север уклоны на горе как часть поиска лучших уклонов для лыжных трасс.
• Вычислить солнечное освещение для каждой ячейки района как часть исследования для определения разнообразия жизни на каждом участке.
• Найти все южные уклоны в горных районах для выявления тех местоположений, где снег тает раньше, как часть исследования для определения тех жилых местоположений, которые первыми пострадают от потока.

Расчет геодезической экспозиции

Геодезическая экспозиция местоположения – это угловое направление α поверхности нисходящего уклона, относительно направления на север, измеренное на плоскости, касательной к поверхности эллипсоида (голубая плоскость на рисунке ниже).

Для вычисления экспозиции в каждом местоположении, квадратические или биквадратические поверхности подгоняются в каждой окрестности из ячеек с использованием метода наименьших квадратов (МНК). Нормаль поверхности вычисляется в местоположении ячейки на основе поверхности. В том же местоположении вычисляется нормаль эллипсоида, перпендикулярная плоскости, проходящей по касательной к поверхности эллипсоида.

Поскольку касательная плоскость поверхности эллипсоида считается базовой плоскостью, нормаль поверхности проецируется на эту плоскость. И наконец, геодезическая экспозиция вычисляется измерением угла α в направлении по часовой стрелке между направлением на север и проекцией нормали поверхности (см. рисунок выше).

Уклон

Параметр поверхности Уклон – максимальная крутизна для каждой ячейки поверхности. Чем меньше значение уклона, тем более плоской является земная поверхность; чем больше значение уклона, тем более крутые склоны расположены на поверхности.

Выходной растр уклона может быть вычислен в двух единицах измерения, градусах или процентах. Процентные значения понятнее, так как они вычисляются как диапазон значений, разделенный на пробег, и умноженный на 100. Рассмотрим треугольник B на рисунке внизу. Когда угол равен 45 градусам, подъем равен пробегу (спуску), а процент подъема равен 100 процентам. По мере того, как угол наклона приближается к вертикальному (90 градусов), как в треугольнике C, процент подъема стремится к бесконечности.

Сравнение значений уклонов в градусах и процентах.

Уклон, в основном, вычисляется для наборов данных высот, как на рисунках ниже. Более крутые уклоны обозначены на выходном растре уклона более темным коричневым.

Инструмент также может использоваться с другими типами непрерывных данных, например, численность населения, для выявления резких изменений значения.

Расчет геодезического уклона

Геодезический уклон является углом между топографической поверхностью и поверхностью эллипсоида. Любая поверхность, параллельная поверхности эллипсоида, имеет уклон 0. Для вычисления уклона в каждом местоположении, квадратические или биквадратические поверхности подгоняются в каждой окрестности из ячеек с использованием метода наименьших квадратов (МНК). Нормаль поверхности вычисляется в местоположении ячейки на основе поверхности. В том же месте также вычисляется нормаль эллипсоида, перпендикулярно плоскости, касательной к поверхности эллипсоида. Уклон в градусах вычисляется как угол между нормалью эллипсоида и нормалью топографической поверхностью. Этот угол соответствует углу между топографической поверхностью и поверхностью эллипсоида.

Обзор понятия кривизны поверхности

Кривизна вычисляется как несколько параметров поверхности, которые описывают ее форм, как правило, вдоль линии поверхности, созданной пересечением плоскости через эту поверхность. Фактически, геометрическая кривизна подбирает наиболее подходящую окружность (окружность кривизны) для аппроксимации формы кривой в любой точке. Кривизна обратна радиусу окружности (1/r). Следовательно, чем прямее линия, тем лучше она соответствует окружности большего радиуса, и, соответственно, меньшей кривизне, а более изогнутая линия будет соответствовать окружности меньшего радиуса, и, соответственно, большей кривизне (Crane, 2018).

Профильная (нормальной линии уклона) кривизна

Параметр поверхности Профильная (нормальной линии уклона) кривизна измеряет геометрически-нормальную кривизну вдоль линии уклона. Иногда называемая “профильная кривизна”, она может быть визуализирована как форма вертикального (по профилю) сечения поверхности. Как показано на рисунке ниже, вертикальная плоскость пересекает поверхность вдоль оранжевой линии, и если ее срезать, то она будет выглядеть как профиль поперечного сечения поверхности.

Плоскость определяется двумя векторами, желтой стрелкой, показывающей градиентное направление или линию уклона, и красной стрелкой, соответствующей нормали поверхности. Комбинация этих двух векторов, желтого и оранжевого, формирует плоскость оранжевого цвета, и линию, также оранжевого цвета, пересекающую поверхность. Профильная кривизна вычисляется вдоль оранжевой линии (нормальной линии уклона) в плоскости оранжевого цвета.

Мы применяет здесь термин “нормальная линия уклона” Minár et al., (2020), чтобы избежать путаницы с применяемой ранее.

Эта кривизна обычно применяется для характеристик ускорения или замедления накопления в поверхности под действием гравитации. При более высокой скорости стока вода может переносить и перемещать больший объем материала, поэтому области ускорения становятся областями эрозии, а области замедления - областями осаждения.

Результаты этой кривизны отличаются от Профильной кривизны из предыдущего инструмента Кривизна. Описание различий между Профильной кривизной и Профильной (нормальной линии уклона) кривизной приведено ниже.

Используется следующий алгоритм вычисления профильной (нормальной линии уклона) кривизны:

• Где:

  K_P = Профильная (нормальной линии уклона) кривизна

  z = f(x,y)

Тангенциальная (нормальной изолинии) кривизна

Тангенциальная (нормальной изолинии) кривизна Параметры поверхности измеряет геометрически-нормальную кривизну перпендикулярно линии уклона, касательно изолинии. Она основана на тангенциальной кривизне, так как измеряет кривизну по касательной к изолинии. Он описывается как "нормальной изолинии" (Minár et al., 2020), поскольку плоскость сечения фиолетового цвета, создает фиолетовую линию, вдоль которой вычисляется кривизна, определяемая вектором изолинии синего цвета и вектором нормаль поверхности красного цвета.

тангенциальная (нормальной изолинии) кривизна обычно применяется для характеристик схождения или расхождения стоков по поверхности.

Используется следующий алгоритм вычисления тангенциальной (нормальной изолинии) кривизны:

• Где:

  K_T = Тангенциальная (нормальной изолинии) кривизна

  z = f(x,y)

Тангенциальная (нормальной изолинии) кривизна – не то же самое, что проецированная кривизна изолинии, которая также иногда называется “кривизной изолинии” или “горизонтальной кривизной. Проецированная кривизна изолинии измеряется вдоль изолинии синего цвета, где горизонтальная плоскость пересекает поверхность. Этот тип кривизны в настоящий момент недоступен в ArcGIS Pro.

Рисунок ниже иллюстрирует разницу между тангенциальной (нормальной изолинии) кривизной, измеренной вдоль линии фиолетового цвета, и проецированной кривизной изолинии, измеренной вдоль изолинии синего цвета.

Средняя кривизна

Параметр поверхности Средняя кривизна измеряет общую кривизну поверхности. Вычисляется как среднее значение между минимальной и максимальной кривизной. Она также является математическим эквивалентом средней Профильной (нормальной линии уклона) кривизны и Тангенциальной (нормальной изолинии) кривизны. На рисунке ниже показаны секущие плоскости профильной (нормальной линии уклона) (оранжевая) и тангенциальной (нормальной изолинии) (фиолетовая).

Профильная (нормальная линии уклона) и тангенциальная (нормальной изолинии) типы кривизны измеряют выпуклость и вогнутость в определенном направлении. Таким образом, средняя кривизна описывает истинную выпуклость или вогнутость поверхности, независимо от направления или влияния гравитации. Ее знак (положительный или отрицательный) не является точным индикатором выпуклости или вогнутости, за исключением крайних значений, поэтому поверхность может быть выпуклой в одном направлении, и вогнутой в другом. Высокие положительные значения указывают на области максимальной эрозии, а высокие отрицательные-на области максимального накопления (Minár et al., 2020).

Применяется следующий алгоритм вычисления средней кривизны:

• Где:

  K_M = средняя кривизна

  z = f(x,y)

Сравнение с алгоритмами устаревшего инструмента Кривизна

Инструмент Параметры поверхности использует алгоритмы, отличающиеся от применяемых в инструменте Кривизна, кроме того, в вычислениях используется геодезическая математика, поэтому прямого сравнения выходных данных этих инструментов делать не следует. Типы кривизны инструмента Параметры поверхности, Профильная (нормальной линии уклона) и Тангенциальная (нормальной изолинии), являются истинной геометрической кривизной (Minár et al. 2020). Средняя кривизна инструмента Параметры поверхности является средним значением максимальной и минимальной кривизны в данной точке. Типы Профильная и Плановая из инструмента Кривизна являются производными направления, а не реальной кривизной поверхности в местоположении (Zeverbergen and Thorne 1987). Знак (положительный или отрицательный) профильной (нормальной линии уклона) кривизны в инструменте Параметры поверхности противоположен Профильной кривизне из инструмента Кривизна. Инструмент Параметры поверхности работает в геодезическом пространстве, а инструмент Кривизна - в планарных координатах с математикой. Инструмент Параметры поверхности может работать с поверхностями Квадратическая или Биквадратическая, инструмент Кривизна поддерживает только Биквадратической.

Расстояние окрестности

Расстояние окрестности - это расстояние на карте от центра текущей ячейки до центра окрестности, наиболее удаленной ортогонально. Меньшее расстояние окрестности захватывает больше локальной вариабельности ландшафта, с характеристиками небольших ландшафтных объектов. С данными высот более высокого разрешения (около 2 метров или менее), большее расстояние лучше подходит, из-за меньшей ошибки измерения (шума) в данных, что не отражает процессы формирования ландшафта, или потому что изучаемые процессы лучше проявляются на больших расстояниях.

Минимальное расстояние окрестности равно размеру ячейки входного растра. Максимальное расстояние окрестности в 7 раз больше размера ячейки, что дает окно размером 15 x 15 ячеек. Если задано расстояние, превышающее семикратный размер ячейки, все равно используется окно размером 15 x 15.

Взаимосвязь между расстоянием окрестности (красная/оранжевая линия) и числом пикселов в плавающем окне. Для размера ячеек 10 метров; при расстоянии окрестности 10 метров будет использоваться окно 3 x 3 ячейки (по умолчанию), при расстоянии окрестности 20 метров - окно 5 x 5 ячеек, при 30 метрах - 7 x 7 ячеек.

Если указанное расстояние окрестности не достигает диапазона, кратного размеру ячейки, оно округляется до следующего значения, кратного размеру ячейки. Например, на рисунке ниже, указано значение окрестности 25 метров, которое округляется до следующего значения, кратного размеру ячейки, 30 метров (3 размера ячейки), то есть окно 7 x 7 ячеек.

Если ваши данные высот высокого разрешения, выше, чем необходимо для анализа форм рельефа, альтернативой окну окрестностей может быть пересчет или агрегация данных до ячейки большего размера, более подходящей для применения в текущей задаче.

Вычисления параметров поверхности чувствительны к размеру ячейки и расстоянию окрестности. В работах Wilson (2018) и Minár et al (2020) описаны актуальные алгоритмы и вычисления, приведенные в этом разделе.

Адаптивная окрестность

Если отмечен параметр Использовать адаптивную окрестность, то он меняет расстояние окрестности (размер окна), используемое для вычисления параметра поверхности, для наилучшего захвата соответствующей вариабельности ландшафта. Инструмент автоматически определяет размер окна, вычисляя локальное отклонение от средней высоты (DEV) (Wilson and Gallant, 2000) на основе значений всех ячеек в окрестности. Он пытается использовать максимально возможный размер окна, минимизируя вариабельность поверхности (James et al., 2014). Максимально используемый размер окна указывается в параметре Расстояние окрестности.

При вычислении параметра поверхности с фиксированной окрестностью, используются значения всех ячеек в окрестности. При вычислении параметра поверхности с адаптивной окрестностью, используется только 9 ячеек (внешние ортогональные, диагональные и центральная ячейки) окрестности.

Точки обозначают центры ячеек, используемых в вычислениях параметра поверхности с окном 7 x 7 с параметром Адаптивная окрестность.

Адаптивная окрестность, в частности, применяется при анализе ландшафта с объектами рельефа, размер которых меняется в широких пределах, например крупные цели холмов с небольшими лощинами или руслами, с ЦМР с высоким разрешением. В такой ситуации, небольшое расстояние окрестности, например 1 метр, может использоваться для оврагов, а большее расстояние, около 10 или 15 метров - для холмов.

На рисунке ниже окрестность меньшего размера подходит для ручья и края береговой линии, окрестность большего размера – для перехода от холма к равнине и еще большая окрестность для почти плоского однородного плато.

Эффект ребра для расстояния окрестности

Ячейкам вокруг внешней границы выходных данных будут присвоены значения NoData, если для расчета будет недостаточно информации.

При использовании опции адаптивного расстояния окрестности, экстент выходного растра будет сокращен вокруг внешней границы на 1 ячейку.

При использовании фиксированного расстояния окрестности больше, чем один размер ячейки, экстент выходного растра будет сокращен в соответствии с расстоянием окрестности. Размер сокращения вычисляется по формуле: (ширина окна в пикселах - 1) / 2

Например, если в качестве расстояния окрестности задано окно 7 x 7ячеек, выходной растр будет сокращен на 3 ячейки от его внешней границы.

Квадратическая и биквадратическая

Это два типа локальных поверхностей, которые подгоняются к окну окрестности, квадратическая и биквадратическая. Квадратическая используется по умолчанию и рекомендуется для большинства данных и приложений.

Квадратическая поверхность подгоняется по методу наименьших квадратов и не проходит точно через все точки. Хотя поверхность и не проходит точно через все точки, алгоритм квадратической поверхности приводит к минимизации влияния шума в данных поверхности, таких как поверхность данных лидара высокого разрешения, что создает более репрезентативный результат для всех параметров поверхности и особенно важно при вычислении кривизны.

Квадратическая поверхность должна использоваться при указании размера окрестности больше, чем размер ячейки, и при использовании опции адаптивной окрестности.

Биквадратическая поверхность в точности соответствует ячейкам в окрестности. Эта опция подходит для входных поверхностей высокой точности без случайного шума. Если расстояние окрестности больше размера ячейки входного растра, преимущества использования биквадратического типа поверхности будут утеряны, соответственно расстояние окрестности должно быть оставлено по умолчанию (равно размеру одной ячейки).

Преобразование геодезических координат

Инструмент Параметры поверхности проводит все вычисления в геоцентрической 3Dсистеме координат также называемой системой координат Earth Centered, Earth Fixed (ECEF) – где форма земной поверхности рассматривается как эллипсоид. На результат вычисления проекция данных не оказывает влияния. При этом используются единицы измерения z входного растра, если они заданы в пространственной привязке. Если пространственная привязка входных данных не содержит z-значения, вам необходимо задать их с использованием параметра z-единицы.

Система координат ECEF является 3D правосторонней Декартовой системой координат с центром земли в качестве начальной точки, в которой любое местоположение представлено координатами X, Y и Z. На следующем рисунке приводится пример целевого местоположения T, выраженного в геоцентрических координатах.

Растр поверхности трансформируются из входной системы координат в 3D геоцентрическую систему координат.

В геодезических вычислениях используются координаты X, Y, Z, которые вычисляются на основе геодезических координат(широта φ, долгота λ, высота h). Если система координат входного растра поверхности является системой координат проекции, растр сначала перепроецируется в географическую систему координат, в которой каждое местоположение имеет геодезические координаты, затем он преобразуется в систему координат ECEF. Высота h (z-значение) является эллипсоидной высотой, основанной на поверхности эллипсоида. См. иллюстрацию ниже.

Эллипсоидальная высота

Для преобразования геодезических координат (широта φ, долгота λ, высота h) в координаты ECEF используются следующие формулы:

X = (N(φ) + h) * cos(φ) * cos(λ)

Y = (N(φ) + h) * cos(φ) * sin(λ)

Z = (b2 / a2 * N(φ) + h) * sin(φ)

• Где:

  N(φ) = a2 / √( a2 * cos(φ)2 + b2 * sin(φ)2)

  φ = широта

  λ = долгота

  h = высота эллипсоида

  a = большая полуось эллипсоида

  b = малая полуось эллипсоида

Эллипсоидная высота h в следующих формулах дается в метрах. Если единицы z входного растра указаны в каких-либо других единицах, они будут внутренне преобразованы в метрах.

Рекомендуем прочитать

Для углубленного изучения методов анализа поверхности и их применений см. литературу ниже. Дополнительно, Hengl и Reuter (2008), а также Wilson (2018) предложили полную систематизацию этих и многих других методов анализа местности и их приложений. В работе Minár et al (2020) приводится всесторонний анализ и сравнение всех предшествующих работ по кривизне земной поверхности, с пояснениями и определением различных типов кривизны.

Литература

B. Hofmann-Wellenhof, H. Lichtenegger and J. Collins, 2001. GPS - theory and practice. Section 10.2.1. p. 282.

Burrough, P. A., and McDonell, R. A., 1998. Principles of Geographical Information Systems (Oxford University Press, New York), 190 pp.

Crane K., 2018. Discrete Differential Geometry: An Applied Introduction. Notices of the AMS, Communication. https://www.cs.cmu.edu/~kmcrane/Projects/DDG/paper.pdf

David Eberly 1999. Least Squares Fitting of Data (Geometric Tools, LLC), pp. 3.

E.J.Krakiwsky, and D.E.Wells, 1971. Coordinate Systems In Geodesy (GEODESY AND GEOMATICS ENGINEERING, UNB), LECTURE NOTES, No16, 1971, pp. 18-38

Hengl T. and Reuter H. 2008. Geomorphometry Concepts, Software, Applications. Elsevier.

James D.E., M.D. Tomer, S.A. Porter. 2014. Trans-scalar landform segmentation from high-resolution digital elevation models. Poster presented at: ESRI Annual Users Conference; July 2014; San Diego, CA.

Lancaster, P. and Šalkauskas, K. Curve and Surface Fitting: An Introduction. London: Academic Press, 1986.

Marcin Ligas, and Piotr Banasik, 2011. Conversion between Cartesian and geodetic coordinates on a rotational ellipsoid by solving a system of nonlinear equations (GEODESY AND CARTOGRAPHY), Vol. 60, No 2, 2011, pp. 145-159

Minár, J., Evans, I. S., & Jenčo, M. (2020). A comprehensive system of definitions of land surface (topographic) curvatures, with implications for their application in geoscience modelling and prediction. Earth-Science Reviews, 103414. https://doi.org/10.1016/j.earscirev.2020.103414

Wilson J.P and Gallant, J.C. (Eds.) 2000. Terrain Analysis: Principles and Applications. John Wiley & Sons, Inc.

Wilson J.P 2018. Environmental Application of Digital Terrain Modeling. John-Blackwell, Inc.

Zevenbergen, L. W., and C. R. Thorne. 1987. Quantitative Analysis of Land Surface Topography. Earth Surface Processes and Landforms 12: 47-56.