Доступно с лицензией Geostatistical Analyst.
Радиальные базисные функции (Radial basis functions) (RBF) представляют собой набор методов жесткой интерполяции; это означает, что поверхность должна проходить через каждое измеренное опорное значение. Существует пять различных базисных функций:
- Плоский сплайн
- Сплайн с натяжением
- Полностью регуляризованный сплайн
- Функция мультиквадриков
- Функция Обратные мультиквадрики
Каждая базисная функция имеет различную форму и позволяет получать разные интерполированные поверхности. Методы РБФ – это специальный случай сплайнов.
Концептуально, радиальные базисные функции напоминают размещение резиновой мембраны на измеренные опорные точки и одновременно уменьшение общей кривизны поверхности. Выбор базисной функции определяет то, как резиновая мембрана будет расположена между значениями. В следующей диаграмме концептуально показано нанесение поверхности радиальной базисной функции на серию опорных точек высот. Обратите внимание, что поверхность в поперечном сечении проходит через значения данных.
Являясь жесткими интерполяторами, методы РБФ отличаются от интерполяторов по методу глобального и локальных полиномов, которые являются нежесткими интерполяторами и не требуют обязательного прохождения поверхности через измеренные точки. Функция обратных взвешенных расстояний (также жесткий интерполятор), в отличие от радиальных базисных функций, никогда не интерполирует значения выше максимального или ниже минимального измеренного значения. Это можно увидеть на поперечном сечении опорных данных.
Тем не менее, с помощью радиальных базисных функций можно прогнозировать значения выше максимальных и ниже минимальных измеренных значений, как показано на поперечном сечении.
Оптимальные параметры определяются с помощью перекрестной проверки, аналогично шагам, рассмотренным для функции обратных взвешенных расстояний и интерполяции по методу локальных полиномов.
Использование радиальных базисных функций
Радиальные базисные функции используют для создания сглаженных поверхностей из большого количества расчетных данных. С помощью функции можно успешно создавать слабо изменяющиеся поверхности, например поверхности высот.
Однако эти методы не подходят при значительных изменениях значений поверхности в пределах коротких расстояний и/или если вы подозреваете, что опорные данные могут быть ошибочными или неопределенными.
Концепции радиальных базисных функций
В модуле Geostatistical Analyst радиальные базисные функции формируются над каждым местоположением данных. Радиальная базисная функция – эта функция, которая изменяется при удалении от местоположения.
Например, предположим, что радиальная базисная функция – это расстояние от каждого местоположения, следовательно, она формирует перевернутый конус над каждым местоположением. Если сделать поперечное сечение плоскости x, z для y = 5, можно увидеть срез каждой радиальной базисной функции. Теперь, предположим, необходимо спрогнозировать значение для y = 5 и x = 7. Значение каждой радиальной базисной функции в интерполируемом местоположении можно взять из вышеприведенного рисунка. Значение определяется значениями Φ1, Φ2, и Φ3, которые просто зависят от расстояния от каждого местоположения данных. Предиктор формируется с помощью среднего взвешенного w1Φ1 + w2Φ2 + w3Φ3 +...
Как же определить веса? До сих пор вы не использовали значения данных. Веса w1, w2, w3 и т. д. можно определить, установив обязательное требование: при перемещении предиктора в местоположение с измеренным значением, значение должно быть проинтерполировано точно. Так мы получим N уравнений с N неизвестными, которые можно решить единственным образом. Таким образом, поверхность проходит через значения данных, что обеспечивает выполнение жесткой интерполяции.
Радиальная базисная функция в этом примере является специальным случаем радиальной базисной функции мультквадриков. Модуль Geostatistical Analyst также позволяет использовать другие радиальные базисные функции, например, функции полностью регуляризованных сплайнов, плоских сплайнов, сплайнов с натяжением и функций обратных мультиквадриков. Иногда разница между ними не велика. Можно использовать только одну или несколько функций одновременно, а затем выполнить перекрестную проверку и выбрать одну из них. Каждая радиальная базисная функция содержит параметр, управляющий сглаженностью поверхности.
Для всех методов, кроме обратных мультиквадриков, чем выше значение параметра, тем более сглаженная карта; обратное верно для метода обратных мультиквадриков.