Интерполяция ядра — это вариант интерполяции по методу локальных полиномов первого порядка, в котором нестабильность вычислений предотвращается с использованием метода, аналогичного тому, который используется в гребневой регрессии для оценки коэффициентов регрессии. Если оценка характеризуется лишь небольшим смещением и при этом намного точнее несмещенной оценки, то она может оказаться предпочтительной. Подробную информацию о гребневой регрессии можно найти, например, в работе Хёрла и Кеннарда (1970).
Погрешность прогноза интерполяции по методу локальных полиномов оценивается при условии, что модель верна, то есть пространственное число обусловленности везде очень мало. Это предположение часто нарушается, и пространственное число обусловленности выявляет области, в которых прогнозы и стандартные ошибки прогнозов нестабильны. В модели Сглаживания ядра проблема с чрезмерно большими стандартными ошибками прогнозирования и сомнительными прогнозами исправляется с помощью гребневого параметра путем введения небольшого смещения в уравнения. Это делает карту пространственного числа обусловленности ненужной. Таким образом, Интерполяция ядра предлагает только Прогнозирование и Стандартную ошибку прогнозирования в качестве типа выходной поверхности. Поскольку параметр гребня вносит смещение для стабилизации прогнозов, он должен быть как можно меньше, чтобы сохранялась устойчивость модели. Подробности этого процесса можно найти в книге Грибова и Криворучко Локальные полиномы для детрендинга и интерполяции данных при наличии барьеров (2010).
Еще одно различие между двумя моделями состоит в том, что модель интерполяции ядра использует кратчайшее расстояние между точками, так что точки по бокам заданного непрозрачного (абсолютного) барьера соединяются серией прямых линий.
Ядерная интерполяция использует следующие радиально-симметричные ядра: экспоненциальное, гауссово, четвертой степени, Епанечникова, полиномиальное 5-го порядка и постоянное. Ширина полосы ядра определяется прямоугольником вокруг наблюдений.
Ядро Епанечникова обычно дает лучшие результаты при использовании полиномов первого порядка. Однако в зависимости от данных перекрестная проверка и диагностика проверки могут предложить другое ядро, см. Фан и Гейбелс (1996).
Ниже сравниваются прогнозы Интерполяции ядра с барьерами с абсолютными барьерами (первое изображение) и без барьеров (второе изображение). Обратите внимание на то, как резко меняются контуры на барьерах на первом изображении, и как на втором изображении контуры плавно перетекают через барьеры.
Модели, основанные на кратчайшем расстоянии между точками, могут оказаться предпочтительными в гидрологических и метеорологических приложениях.
Функции ядра
В функциях ядра для всех приведенных ниже формул r — это радиус с центром в точке s, а h — ширина полосы.
- Экспоненциальный:
- Гауссово:
- Четвертой степени:
- Епанечникова:
- PolynomialOrder5:
- Константа:
где I(выражение) — функция индикатора, которая принимает значение 1, если выражение истинно, и значение 0, если выражение ложно.
Параметр ширины полосы применяется ко всем функциям ядра, кроме постоянной (константы). Экспоненциальные, гауссовы и константные функции ядра также поддерживают сглаженный поиск окрестности для ограничения диапазона ядра.
Ссылки и дополнительная литература
Fan, J. and Gijbels, I. (1996). Local Polynomial Modelling and Its Applications, Chapman & Hall. London.
Hoerl, A.E. and Kennard, R.W. (1970), Ridge regression: biased estimation for nonorthogonal problems, Technometrics, 12, 55-67.
Yan, Xin. (2009) Linear regression analysis : theory and computing. Опубликовано World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 5 Toh Tuck Link, Singapore 596224.