Как работают радиальные базисные функции

Доступно с лицензией Geostatistical Analyst.

Радиальные базисные функции (RBF) - это ряд точных методов интерполяции; это значит, что поверхность должна проходить через все точки с измеренными значениями. Базисными являются следующие функции:

• Плоский сплайн
• Сплайн с натяжением
• Полностью регуляризованный сплайн
• Мультиквадратичная функция
• Обратная мультиквадратичная функция

У каждой базисной функции есть различную форма и она может привести к различной интерполяционной поверхности. Методы RBF - частный случай сплайнов.

RBF концептуально похожи на установку резиновой мембраны так, чтобы она проходила через измеренные значения, и при этом минимизировалась общая кривизна поверхности. Выбранная вами базисная функция определяет, как резиновая мембрана будет вести себя между значениями. На следующем рисунке показано, как поверхность RBF вписывается в ряд значений высот. Обратите внимание на то, что в поперечном сечении поверхность проходит через значения данных.

Поперечное сечение показывает, как поверхность RBF соответствует выборочным значениям.

Являясь точными интерполяторами, методы RBF отличаются от глобальных и локальных полиномиальных интерполяторов, неточных и не требующих, чтобы поверхность проходила через измеренные точки. Если сравнивать RBF с интерполятором Обратных взвешенных расстояний (IDW) (который также является точным интерполятором), IDW никогда не будет предсказывать значения выше максимального измеренного значения или ниже минимального измеренного значения, как показано на поперечном сечении трансекты данных выборки ниже.

RBF могут предсказывать значения выше максимальных и ниже минимальных измеренных значений, как показано на поперечном сечении ниже.

Оптимальные параметры определяются с помощью перекрестной проверки аналогично тому, как это делается для IDW и интерполяции по методу локальных полиномов.

Когда используются радиальные базисные функции

RBF используются для создания сглаженных поверхностей на основе большого числа точек данных. Функции позволяют получать хорошие результаты для плавно изменяющихся поверхностей, например, поверхностей высот.

Однако эти методы неприменимы для случаев, когда большие изменения значений поверхности происходят на небольших расстояниях или когда вы имеете основания считать, что данные выборки могут характеризоваться ошибками измерений или неопределенностями.

Основные понятия, касающиеся радиальных базисных функций

В Дополнительный модуль ArcGIS Geostatistical Analyst RBF формируются по каждому местоположению данных. RBF — это функция, которая изменяется с расстоянием от местоположения, как показано на рисунке ниже.

Показаны функции RBF для различных местоположений.

Например, предположим, что радиальная базисная функция — это просто расстояние от каждого местоположения, поэтому она представляет собой перевернутый конус, расположенный над каждым местоположением. Если взять поперечное сечение плоскости x,z для y = 5, то вы увидите срез каждой радиальной базисной функции. Теперь предположим, что вы хотите предсказать значение при y = 5 и x = 7. Значение каждой радиальной базисной функции в местоположении прогнозирования можно взять на рисунке выше, Φ₁, Φ₂ и Φ₃, которое зависит от расстояния от каждого местоположения данных. Предиктор формируется путем взятия средневзвешенного значения w₁Φ₁ + w₂Φ₂ + w₃Φ₃ + …

Теперь вам нужно определить веса. До сих пор вы вообще не использовали значения данных. Веса w₁, w₂, w₃ и т.д. определяются таким образом, чтобы при перемещении прогноза в местоположение с измеренным значением значение данных прогнозировалось точно. Это позволяет сформировать N уравнений с N неизвестными, которые могут быть решены однозначно. Таким образом, поверхность проходит через значения данных, делая прогнозы точными.

Радиальная базисная функция в этом примере является частным случаем мультиквадратичной RBF. В Geostatistical Analyst вы также можете использовать другие RBF, например, полностью регуляризованные сплайны, плоские сплайны, сплайны с натяжением и обратные мультиквадратичные сплайны. Разница между ними может быть небольшой, но у вас могут быть причины выбрать один вариант или же попробовать несколько и использовать перекрестную проверку, чтобы выбрать нужный. Каждый из RBF содержит параметр, определяющий сглаженность поверхности.

Для всех методов, кроме обратных мультиквадратичных сплайнов, чем выше значение параметра, тем более сглаженной будет поверхность. Для обратных мультиквадратичных сплайнов верно обратное.