径向基函数工作原理

需要 Geostatistical Analyst 许可。

径向基函数 (RBF) 插值法是一系列精确插值法的组合；即插值表面必须通过每一个测得的采样值。有以下五种基函数：

• 薄板样条函数
• 张力样条函数
• 规则样条函数
• 高次曲面函数
• 反高次曲面函数

在不同的插值表面中，每种基函数都有不同的形状和结果。RBF 方法是样条函数的一个特例。

从概念上讲，RBF 类似于在最小化表面的总曲率时通过测得的样本值拟合橡皮膜。所选基函数确定如何在值之间拟合橡皮膜。下图从概念上演示了 RBF 表面如何通过一系列高程采样值进行拟合。请注意，在横截面上表面穿过数据值。

横截面演示了 RBF 表面如何通过采样值进行拟合。

作为精确插值器，RBF 方法不同于全局和局部多项式插值器，它们都不是精确插值器（不要求表面穿过测量点）。比较 RBF 和 IDW（也是精确插值器）来看，IDW 从不预测大于最大测量值或小于最小测量值的值，如以下样本数据的样带横截面所示。

反距离权重剖面示例

而 RBF 却可预测大于最大测量值和小于最小测量值的值，如以下横截面所示。

RBF 横截面示例

使用交叉验证确定最佳参数，方法与针对 IDW 和局部多项式插值法所述的方法相似。

何时使用径向基函数

RBF 用于根据大量数据点生成平滑表面。这些函数可为平缓变化的表面（如高程）生成很好的结果。

但在表面值在短距离内出现剧烈变化和/或怀疑样本值很可能有测量误差或不确定性时，这些方法不适用。

径向基函数 (RBF) 涉及的概念

在 Geostatistical Analyst 中，每个数据位置都会形成 RBF。RBF 是一个随着距某一位置的距离变化而变化的函数。

不同位置的 RBF 函数

例如，假设径向基函数只是距每个位置的距离，因此它在每个位置处都形成一个倒圆锥。如果在 y = 5 处绘制 x,z 平面的横截面，将看到每个径向基函数的一部分。现在假设要在 y = 5、x = 7 处预测值。每个径向基函数的值均可取自上图中的每个预测位置，这些值由仅依赖于距每个数据位置的距离的 Φ₁、Φ₂ 和 Φ₃ 值给出。预测器通过接收加权平均值 w₁Φ₁ + w₂Φ₂ + w₃Φ₃ + … 而形成

现在的问题是如何确定权重？到目前为止，根本没有使用过数据值。在将预测移到含有测量值的位置时，通过要求精确预测测量值找到了权重 w₁、w₂ 和 w₃ 等。这形成了含有 N 个未知数的 N 个方程，它们只有一种求解方法。因此，表面穿过数据值以做出精确预测。

此例中的径向基函数是高次曲面 RBF 的一个特例。Geostatistical Analyst 还允许使用其他 RBF，例如规则样条函数、薄板样条函数、张力样条函数和反高次曲面样条函数。有时，这些函数的差别不大，但可出于一定原因而选择某一个函数，也可尝试多个函数并使用交叉验证选择一个。每个 RBF 都有一个控制表面平滑度的参数。

对于除反高次曲面外的所有方法，参数值越高，地图越平滑；对于反高次曲面则正相反。