样条函数法的工作原理—ArcGIS Pro

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样条函数法工具应用的插值方法是利用最小化表面总曲率的数学函数来估计值，从而生成恰好经过输入点的平滑表面。

概念的背景

从概念上讲，采样点拉伸到它们数量上的高度。样条函数折弯一个橡皮页，该橡皮页在最小化表面总曲率的同时穿过这些输入点。在穿过采样点时，它将一个数学函数与指定数量的最近输入点进行拟合。此方法最适合生成平缓变化的表面，例如高程、地下水位高度或污染程度。

基本形式的最小曲率样条函数插值法在内插法的基础上增加了以下两个条件：

表面必须恰好经过数据点。
表面必须具有最小曲率。通过表面上每个点获得的表面的二阶导数项平方的累积总和必须最小。

基本最小曲率法也称为薄板插值法。它确保表面平滑（连续且可微分），一阶导数表面连续。在数据点的周边，梯度或坡度的变化率（一阶导数）很大；因此，该模型不适合估计二阶导数（曲率）。

通过将权重参数的值指定为 0，可将基本插值法应用到样条函数法工具。

样条函数法类型

存在两种样条函数法类型：规则样条函数法和张力样条函数法。规则样条函数法类型使用可能位于样本数据范围之外的值来创建渐变的平滑表面。张力样条函数法类型根据建模现象的特性来控制表面的硬度。它使用受样本数据范围约束更为严格的值来创建不太平滑的表面。

规则样条函数类型

规则样条函数选项对最小化条件进行了修改，从而将三阶导数项加入到最小化条件中。权重参数指定最小化期间附加到三阶导数项的权重，在文献资料中称为 τ (tau)。增大此项的值可以得到更加平滑的表面。介于 0 和 0.5 之间的值比较适合。使用此选项可确保获得平滑的表面以及平滑的一阶导数表面。如果需要计算插值表面的二阶导数，此方法很有用。

张力样条函数类型

张力样条函数选项对最小化条件进行了修改，从而将一阶导数项加入到最小化条件中。权重参数指定最小化期间附加到一阶导数项的权重，在文献资料中称为 Φ (phi)。权重为零时，将变为基本薄板样条函数插值法。增大权重值将会降低薄板的硬度，在极限情况下，随着 phi 接近无穷大，表面形状将近似于经过这些点的膜或橡皮页。插值的表面很平滑。一阶导数连续但不平滑。

其他样条函数参数

通过以下两个附加参数可以进一步控制输出表面：权重和点数。

权重参数

对于规则样条函数方法，权重参数定义曲率最小化表达式中表面的三阶导数的权重。权重越高，输出表面越平滑。为该参数输入的值必须大于或等于零。可能会用到的典型值有 0、0.001、0.01、0.1 和 0.5。

对于张力样条函数方法，权重参数定义张力的权重。权重越高，输出表面越粗糙。输入的值必须大于或等于零。典型值有 0、1、5 和 10。

点数参数

点数识别在计算每个插值像元时所使用的点数。指定的输入点越多，较远数据点对每个像元的影响就越大，输出表面也就越平滑。点数的值越大，处理输出栅格所需的时间就越长。

样条函数法方程

样条函数法工具的算法为表面插值使用以下公式：

其中：
j = 1, 2, ..., N。
N 为点数。
λ_j 是通过求解线性方程组而获得的系数。
r_j 是点 (x,y) 到第 j点之间的距离。

根据所选的选项，T(x,y) 和 R(r) 的定义将有所不同。

出于计算目的，输出栅格的整个空间被划分为大小相等的块或区域。x 方向和 y 方向上的区域数相等，并且这些区域均为矩形。将输入点数据集中的总点数除以指定的点数值可以确定区域数。如果数据的分布不太均匀，则这些区域包含的点数可能会明显不同，而点数值只是粗略的平均值。如果任何一个区域中的点数小于八，则该区域将会扩大到至少包含八个点。

对于规则样条函数选项

T(x,y) = a₁ + a₂x + a₃y

其中：
a_i 是通过求解线性方程组而获得的系数。

且，

其中：
r 是点与样本之间的距离。
是权重参数。
K_o 是修正贝塞尔函数。
c 是大小等于 0.577215 的常数。

对于张力样条函数选项

T(x,y) = a₁

其中：
a₁ 是通过求解线性方程组而获得的系数。

且，

其中：
r 是点与样本之间的距离。
φ² 是权重参数。
K_o 是修正贝塞尔函数。
c 是大小等于 0.577215 的常数。

对输出的区域处理

参考资料

Franke, R. 1982. Smooth Interpolation of Scattered Data by Local Thin Plate Splines. Computer and Mathematics with Applications. Vol. 8. No. 4. pp. 273–281. Great Britain.

Mitas, L., and H. Mitasova. 1988. General Variational Approach to the Interpolation Problem. Computer and Mathematics with Applications. Vol. 16. No. 12. pp. 983-992. Great Britain.