样条函数的工作原理—ArcGIS Pro

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样条函数工具应用的插值方法是利用最小化表面总曲率的数学函数来估计值，从而生成恰好经过输入点的平滑表面。

概念的背景

从概念上讲，采样点会拉伸到其大小的高度。样条弯曲通过输入点的橡胶片，同时最小化表面的总曲率。它在通过采样点时将数学函数拟合到指定数量的最近输入点。此方法最适合生成平缓变化的表面，例如高程、地下水位高度或污染浓度。

最小曲率样条插值的基本表单对插值施加了以下两个条件：

表面必须准确地通过数据点。
表面必须具有最小曲率。通过表面上每个点获得的表面的二阶导数项平方的累积总和必须最小。

基本最小曲率技术也称为薄板插值法。它确保了平滑（连续且可微分）表面以及连续的一阶导数表面。梯度或斜率（一阶导数）的快速变化可能发生在数据点附近；因此，该模型不适用于估计二阶导数（曲率）。

通过将权重参数的值指定为 0，可将基本插值法应用到样条函数工具。

样条函数法类型

存在两种样条函数法类型：规则样条函数法和张力样条函数法。 “规则”类型可创建一个平滑的且逐渐变化的表面，其值可能位于示例数据范围之外。 “张力”类型根据建模现象的特征控制表面的刚度。它创建了一个不太光滑的表面，其值更受样本数据范围的约束。

规则样条函数类型

规则样条函数选项对最小化条件进行了修改，从而将三阶导数项加入到最小化条件中。权重参数指定最小化期间附加到三阶导数项的权重，在文献资料中称为 τ (tau)。此项的值越高，表面越光滑。 0 到 0.5 之间的值为合适的值。使用此选项可确保平滑表面和平滑一阶导数表面。如果需要计算插值表面的二阶导数，则此技术将非常有用。

张力样条函数类型

张力样条函数选项对最小化条件进行了修改，从而将一阶导数项加入到最小化条件中。权重参数指定最小化期间附加到一阶导数项的权重，在文献资料中称为 Φ (phi)。如果权重为零，将进行基本薄板样条插值。使用较大的权重值会降低板的刚度，并且在 phi 接近无穷大的极限下，通过这些点的表面近似于膜或橡胶板的形状。插值表面为平滑表面。一阶导数是连续的但不平滑。

其他样条函数参数

通过以下两个附加参数可以进一步控制输出表面：权重和点数。

权重参数

对于规则样条函数方法，权重参数定义曲率最小化表达式中表面的三阶导数的权重。权重越高，输出表面越光滑。为该参数输入的值必须大于或等于零。可以使用的典型值为 0、0.001、0.01、0.1 和 0.5。

对于张力样条函数方法，权重参数定义张力的权重。权重越高，输出表面越粗糙。输入的值必须大于或等于零。典型值分别为 0、1、5 和 10。

点数参数

点数识别在计算每个插值像元时所使用的点数。您指定的输入点越多，每个像元受远处点的影响就越大，输出表面就越平滑。点数的值越大，处理输出栅格所需的时间就越长。

样条函数法方程

用于样条工具的算法使用以下公式进行表面插值：

其中：
j = 1, 2, ..., N。
N 为点数。
λ_j 是通过求解线性方程组而获得的系数。
r_j 是点 (x,y) 到第 j点之间的距离。

根据所选的选项，T(x,y) 和 R(r) 的定义将有所不同。

出于计算目的，输出栅格的整个空间将被划分为大小相等的块或区域。 x 和 y 方向的区域数量相同，且形状为矩形。通过将输入点数据集中的点总数除以为点数指定的值来确定区域数。对于分布不均匀的数据，区域可能包含明显不同的点数，点数的值只是粗略的平均值。如果任何一个区域中的点数小于八，则该区域将会扩大到至少包含八个点。

对于规则样条函数选项

T(x,y) = a₁ + a₂x + a₃y

其中：
a_i 是通过求解线性方程组而获得的系数。

且，

其中：
r 是点与样本之间的距离。
是权重参数。
K_o 是修正贝塞尔函数。
c 是大小等于 0.577215 的常数。

对于张力样条函数选项

T(x,y) = a₁

其中：
a₁ 是通过求解线性方程组而获得的系数。

且，

其中：
r 是点与样本之间的距离。
φ² 是权重参数。
K_o 是修正贝塞尔函数。
c 是大小等于 0.577215 的常数。

对输出的区域处理

参考资料

Franke, R. 1982. Smooth Interpolation of Scattered Data by Local Thin Plate Splines. Computer and Mathematics with Applications. Vol. 8. No. 4. pp. 273–281. Great Britain.

Mitas, L., and H. Mitasova. 1988. General Variational Approach to the Interpolation Problem. Computer and Mathematics with Applications. Vol. 16. No. 12. pp. 983-992. Great Britain.