孔隙扩散的工作原理

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溶质在孔隙介质中的传输涉及两个主要机制：移流和水动力学弥散。 移流描述了溶质随传输液体进行的被动传输。 弥散是由于流体在孔隙空间内的差异运动而将溶质和流体混合在一起的过程。 孔隙扩散假定蓄水层垂直混合，即整个垂直部分内的浓度相同。 这样便可按栅格数据模型的要求，应用二维数学模型。

二维弥散

孔隙介质中的二维弥散由移流-弥散方程（Bear，1979；Freeze 和 Cherry，1979；Marsily，1986）控制，该方程依纵向（流向）X_L 和横向（垂直于流向）X_T 建立，如下所示：

• 其中：

  C：溶质浓度（作为两个空间维度和时间 t 的函数）。

  ∂C/∂t：表示时间导数。

  D'_L：纵向有效（延迟）弥散系数。

  D'_T：横向有效（延迟）弥散系数。

  λ：衰变系数，假定为一阶索引衰变的常量。

弥散系数

弥散系数可衡量溶剂在指定方向的扩散范围。

D'_i = D_i/R

• 其中：

  R：延迟因子。

  i：方向（纵向或横向）。

弥散系数与溶质在特定介质中的行为有关。

弥散性与弥散系数之间的关系

弥散性 α_L（纵向弥散性）和 α_T（由弥散比得出）与弥散系数的关系如下：

D'_L = α_L V' 和

D'_T = α_T V'

• 其中：

  V'：扩散的平均延迟速度。

  X_L：纵向位移，平行于质心处的流向。

  X_T：横向位移，垂直于质心处的流向。

  V'_L：纵向延迟溶质速度。

传输速度

在地下水流中：

V = q / n

• 其中：

  q：达西通量（单位横断面面积的排水量）。

  n：地质构造的有效孔隙度。

V' = V / R

有关传输速度的详细信息，请参阅达西速度的文档。

高斯弥散

此孔隙扩散方程的近似解基于一个假设，即二维域中初始浓度为零的瞬时点源高斯弥散（例如，洁净且垂直混合的蓄水层）。使用以下方程计算近似解：

• 其中：

  M：源处瞬间释放的溶质质量，采用质量单位。

  n：蓄水层孔隙度。

  R：延迟因子。

  b：蓄水层厚度（采用长度单位）。

  ：纵向和横向的高斯分布的方差，指定为所提供的纵向弥散性和弥散比以及从追踪文件中获取的溶质质心的行进路径长度的函数。

此二元高斯分布函数的常规椭圆形如下所示：

二元高斯分布的形状

孔隙扩散的解存在几个明显限制，而且其中还隐含假设。 弥散椭圆位于溶质的质心，并假定其已经沿着输入文件中所描述的流动追踪进行移动。 椭圆的方向也固定在流动轨迹上，主轴在质心处与轨迹相切。 孔隙度和厚度也对分布有贡献，它们从质心处各自的栅格进行插值，不包含来自周围像元的信息。 您可以提供延迟、时间、衰变系数、纵向弥散性及弥散比等常量。

弥散性

弥散性是用于控制溶质在孔隙介质中弥散的参数，使用长度单位指定。 在孔隙扩散模型中，弥散性用于计算上述高斯弥散方程的方差 ，具体根据：

• 和
• 

弥散性性质及其确定方法是地下水建模领域极具争议的热门话题，并且不存在普遍接受的估算方法。 可在 Gelhar 等 (1992) 所著文章中找到有关各种地质构造中的弥散性的论述。

下图对已出版的文献资料中的各种数据进行了总结，并将纵向弥散性与感兴趣问题的比例进行了关联，表示从源位置到观测点的距离。

• 图像的实线（中心线）表示通过“孔隙扩散”工具计算出的纵向弥散性的默认值。

  该线的创建方式是通过将 线性回归拟合为 L，得到 或 ，其中行进路径的长度 L 为观测比例。

  还显示了此回归的统计数据。 外部虚线位于 和 处，以便进行比较。

此默认计算应仅用于指导目的，因为一些研究人员不赞同使用此通用拟合方法。 对于任何特定的比例或站点，有效的弥散性可能覆盖两个数量级的范围，而且更加可靠的估计值往往是较低的值。 不应使用没有理论基础的默认值，而应使用一系列弥散性执行多次模拟。 与使用一次模拟的结果相比，考虑一组结果会更为有效。

类似的注意事项适用于下图所示的纵向与横向弥散比的估计。 这些值一般会通过一个简单比率相关联，不过，仍应使用一定范围的值进行试验。

弥散性比较

默认弥散比 在下图中通过实线（中心线）表示。 虚线（外部线）位于 和 处，以便进行比较。

有效孔隙度和导水系数值

Gelhar 等人在表格中包含了有效的孔隙度值和导水系数值。 在 Freeze 和 Cherry (1979) 及 Marsily (1986) 所著文章中可以找到这些值的表。

延迟

延迟是传输流体速度与溶质速度之间的比率，表示为 1 到无穷大之间的数字，没有单位。 值为 2 的延迟表示溶质以一半的渗流速度通过多孔介质。 理想的示踪剂不会发生吸附，而是随流体在溶液中移动。 此类溶质的延迟值为 1，表示溶质和传输液体的移动速率相同。

这种现象是成分吸附和解吸到多孔基质中的结果，尤其是吸附到孔壁上的有机涂层中。 Freeze 和 Cherry (1979) 的论述中对延迟方程进行了介绍，具体如下：

• 其中：

  ：基体体积密度。

  n：结构的孔隙度。

  K_d：分布系数，表示因液相和固相间（假设线性等温线）的快速可逆溶质吸附导致的分离现象。

Marsily (1986) 也对延迟因子和吸附作用进行了详细论述。

执行移流-弥散建模

达西流、粒子追踪和孔隙扩散工具可用于对地下水中的成分进行基本的移流-弥散建模。 达西流分析用于根据地质数据生成地下水流速场；粒子追踪用于计算从点源开始通过流场的移流路径；孔隙扩散用于计算在沿流路径移流时瞬时点释放某种成分的水动力学弥散。

有关使用这些功能构建移流-弥散模型的完整论述，请参阅 Tauxe (1994)。

地下水建模的典型顺序为，依次执行达西流、粒子追踪和孔隙扩散。

示例

• 以下是孔隙扩散工具对话框的示例：

  输入粒子追踪文件：ttrack.txt

  输入有效地层孔隙度栅格数据：poros

  输入饱和浓度栅格数据：thickn

  输出栅格：ppuff1

  质量：3.2e7

  弥散时间：50000

  纵向弥散性：6

  弥散比：3

  延迟因子：1

  衰变系数：250

• 在地图代数中使用孔隙扩散的示例：

  outPPuff1 = PorousPuff(ttrack.txt, poros, thickn, 1000000, 0.01, 10, 1.5, 1.0, 500)

• 以下是涉及地下水建模工具套件的一系列地图代数表达式：

  out_vol = DarcyFlow(head, poros, thickn, transm, dir1, mag1)
  ParticleTrack(dir1, mag1, ttrack.txt, 500, 650, "#", "#", track_feat.shp)
  out_puff = PorousPuff(ttrack.txt, poros, thickn, 3.2e7, 50000, 6, 3, 1, 250)

参考资料

Bear, J. 1979, Hydraulics of Groundwater. McGraw–Hill.

Freeze, R. A., and J. A. Cherry. 1979. Groundwater. Prentice–Hall.

Gelhar, L. W., C. Welty, and K. R. Rehfeldt. 1992. "A Critical Review of Data on Field-Scale Dispersion in Aquifers". Water Resources Research 28 (7): 1955–1974.

Marsily, G. de. 1986. Quantitative Hydrogeology. Academic Press.

Tauxe, J. D. 1994. "Porous Medium Advection–Dispersion Modeling in a Geographic Information System". Ph.D. diss., University of Texas, Austin.