Mit der Geostatistical Analyst-Lizenz verfügbar.
Während bei der globalen Polynominterpolation ein Polynom an die gesamte Oberfläche angepasst wird, werden bei der lokalen Polynominterpolation viele Polynome jeweils innerhalb bestimmter überlappender Nachbarschaften angepasst. Die Suchnachbarschaft kann mithilfe der Größe und Form, der Anzahl der Nachbarn und der Sektorkonfiguration definiert werden. Alternativ können die Werte Bandbreite, Räumlicher Bedingungswert (sofern aktiviert) und Suchnachbarschaft mithilfe des Parameters Explorative Trendoberflächenanalyse gleichzeitig verändert werden.
Mit einem globalen Polynom erster Ordnung wird eine einzelne Ebene durch die Daten angepasst; mit einem globalen Polynom zweiter Ordnung wird eine Oberfläche mit einer Krümmung angepasst, damit Oberflächen möglich sind, die Täler darstellen; ein globales Polynom dritter Ordnung ermöglicht zwei Krümmungen usw. Wenn eine Oberfläche jedoch eine sich verändernde Form hat, wie z. B. eine Landschaft mit Neigungen, flachen Gebieten und erneuten Neigungen, ist ein einzelnes globales Polynom nicht gut geeignet. Mit mehreren polynomischen Ebenen könnte die Oberfläche, wie in der folgenden Abbildung dargestellt, genauer dargestellt werden.
Mit der lokalen Polynominterpolation wird andererseits das Polynom der angegebenen Ordnung (null, erste, zweite, dritte usw.) mithilfe von Punkten nur innerhalb der definierten Nachbarschaft angepasst. Die Nachbarschaften überlappen, und der für jede Vorhersage verwendete Wert ist der Wert des angepassten Polynoms im Mittelpunkt der Nachbarschaft.
Auf dem folgenden Bild ist ein Querschnitt der Beispielhöhendaten (ein Transekt) dargestellt. Auf dem ersten Bild werden mithilfe dreier Nachbarn (die roten Punkte) ein Polynom erster Ordnung und eine Linie (die rote Linie) angepasst, um den unbekannten Wert der durch den blauen Punkt dargestellten Position vorherzusagen. Auf dem zweiten Bild wird eine zweite Position (der gelbe Punkt) durch ein weiteres Polynom erster Ordnung vorhergesagt. Sie befindet sich sehr nahe an der ersten Position, und in den Vorhersagen werden dieselben Messpunkte verwendet, aber die Gewichtungen sind etwas anders, sodass die polynomische Anpassung (die blaue Linie) leicht anders ist.
Dieser Prozess wird fortgesetzt, indem der Mittelpunkt auf nachfolgende Vorhersage-Positionen festgelegt wird, sodass die lokalen Polynome zum Vorhersagen der Werte angepasst werden. Die beiden nachfolgenden Bilder zeigen weitere willkürlich gewählte Punkte, die vorhergesagt werden, um die endgültige Oberfläche zu bilden. Der orangefarbene Punkt wird aufgrund des angepassten Polynoms (der grünen Linie) mithilfe der grünen Beispielmesspunkte vorhergesagt, und der braune Punkt wird aufgrund des hellvioletten Polynoms vorhergesagt.
In den beiden folgenden Bildern werden zwei weitere Polynome angepasst (die gelbe und die graue Linie), um zwei weitere Positionen vorherzusagen (den blaugrünen und den grünen Punkt).
Dieser Prozess wird für jede Position fortgesetzt. Im Folgenden können Sie sehen, wie die Oberfläche (die violette Oberflächenlinie) für die Beispielpunkte erstellt wird.
Genauigkeitsmesswerte
Die lokale Polynominterpolation bietet die beiden folgenden Genauigkeitsmesswerte, die nicht für die anderen in ArcGIS Geostatistical Analyst enthaltenen deterministischen Interpolationsmethoden verfügbar sind:
- Standardfehler der Vorhersage geben die Unsicherheit an, die mit dem für jede Position vorhergesagten Wert verbunden ist.
- Der räumliche Bedingungswert ist ein Messwert dafür, wie stabil oder instabil die Lösung der Vorhersagegleichungen für eine bestimmte Position ist. Bei einem großen Bedingungswert führt eine kleine Änderung der Matrixkoeffizienten zu einer großen Änderung im Lösungsvektor (Regressionskoeffizienten). Die räumliche Bedingungswert-Oberfläche zeigt eine Variation in der numerischen Modellstabilität und bietet zusätzliche Informationen zur Vorhersageunsicherheit, da die Oberfläche für Standardfehler der Vorhersage in der Annahme erstellt wird, dass das Modell richtig ist.
Die lokale Polynominterpolation ist am genauesten, wenn die Daten die folgenden Eigenschaften haben:
- Die Stichproben wurden auf einem Gitternetz genommen (d. h. die Stichproben haben denselben Abstand zueinander).
- Die Datenwerte sind innerhalb der Suchnachbarschaft normal verteilt.
In der Praxis haben die meisten Datasets diese Eigenschaften nicht. In diesen Fällen sind die vorhergesagten Werte beeinträchtigt, aber nicht so sehr wie die Standardfehler der Vorhersage. Um Sie bei der Entscheidung darüber zu unterstützen, ob die Ergebnisse auf bestimmten Flächen verlässlich sind oder nicht, bietet die LPI eine räumliche Bedingungswert-Oberfläche. In der folgenden Tabelle sehen Sie die Faustregelwerte, und diese kritischen Werte werden auf der Bedingungswert-Oberfläche in gelb gerendert:
| Polynom-Ordnung | Kritische räumliche Bedingungswertgrenze |
|---|---|
1 | 10 |
2 | 100 |
3 | 1000 |
Größer als 3 | Für die meisten Situationen nicht empfohlen |
Werte, die unterhalb der kritischen räumlichen Bedingungswertgrenze liegen, geben an, an welchen Positionen die Lösungen verlässlich sind. Werte, die nahe an den kritischen Werten liegen oder mit diesen übereinstimmen, sind fragwürdig (sollten sorgfältig untersucht werden), und Werte oberhalb der kritischen Grenzen sind nicht verlässlich.
Die räumlichen Bedingungswerte werden generiert, indem ausgewertet wird, wie sensibel der vorhergesagte Wert auf kleine Änderungen in den Koeffizienten der linearen Vorhersagegleichungen reagiert. Ein kleiner räumlicher Bedingungswert gibt an, dass die Lösung stabil ist, während ein hoher Wert angibt, dass die Lösung instabil ist. Eine instabile Lösung ist besorgniserregend, wenn sie in besonderen Interessenbereichen auftritt, da geringe Abweichungen in den Eingabedaten (wie z. B. in ihren Werten, ihren Positionen und ihrer räumlichen Anordnung) zu großen Abweichungen im vorhergesagten Wert führen können. Das bedeutet, dass jede Unsicherheit in Verbindung mit den Eingabedaten (wie z. B. Fehler in Attributmesswerten oder Ungenauigkeiten in den Koordinaten, an denen die Messung erfolgt ist) und insbesondere die Datenausreißer beträchtliche Auswirkungen auf die vorhergesagten Werte haben können. Darüber hinaus verändern Änderungen an der Suchnachbarschaft die Anzahl der Datenpunkte (und im Falle einer geglätteten Suchnachbarschaft die Gewichtungen), die für eine Vorhersage verwendet werden. Außerdem können sie den räumlichen Bedingungswert für die betreffende Position beeinträchtigen.
Die räumliche Bedingungswert-Oberfläche wird für die Polynome der 1., 2. und 3. Ordnung erstellt. Der Standardfehler der Vorhersage wird in der Annahme geschätzt, dass das LPI-Modell richtig ist (d. h. die lokale Regression der kleinsten gewichteten Quadrate ist ein angemessener Algorithmus, und die räumlichen Bedingungswerte sind kleiner als die räumlichen Bedingungswertgrenzen in der Tabelle oben).
Sie können Flächen ausschließen, in deren Karten der Vorhersage und des Standardfehlers der Vorhersage hohe Bedingungswerte auftreten, indem Sie Räumliche Bedingungswertgrenze verwenden im LPI-Dialogfeld aktivieren. Der Bedingungswert hängt lediglich von den Positionen der Eingabepunkte ab, nicht von ihren tatsächlichen Werten. Mit anderen Worten bleibt die Bedingungswert-Oberfläche dieselbe, ganz gleich, ob die Ozon- oder die Höhenwerte aus demselben Dataset als Eingabe für die LPI verwendet werden.
Im Falle regelmäßig verteilter Daten sind die Kernel Konstante, Epanechnikov und Quartic für Polynome der 0., 1. oder 2. Ordnung theoretisch gesehen die besten. Im Falle unregelmäßig verteilter Daten sollte die Auswahl des besten Kernels auf den Validierungs- und Kreuzvalidierungsdiagnosen sowie auf den räumlichen Bedingungswerten basieren.
Die Kernelinterpolation mit Barrieren ist eine Variante der LPI. Lokale Instabilitäten in diesen Ergebnissen werden mithilfe eines Verfahrens korrigiert, das der Ridge-Regression ähnelt. Der Nachteil besteht darin, dass die vorhergesagten Werte leicht verzerrt sind, und dass die Verzerrung in den praxisnächsten Situationen nicht ausreicht, um die Entscheidungen zu beeinflussen, die Sie auf Basis der vorhergesagten Werte treffen.
Löcher in der Oberfläche
Wenn der Parameter Räumliche Bedingungswertgrenze verwenden aktiviert ist, entstehen in der Ausgabe-Oberfläche u. U. "Löcher". Dabei handelt es sich um Flächen, auf denen die räumliche Bedingungswertgrenze überschritten wird, oder auf denen die Suchnachbarschaft zu klein ist. Die Suchnachbarschaftsparameter und die räumliche Bedingungswertgrenze können so angepasst werden, dass diese Flächen gefüllt werden. Es muss jedoch darauf hingewiesen werden, dass diese Löcher an Stellen entstanden sind, an denen die Berechnung der vorhergesagten Werte eventuell instabil ist.
Anwendungsbereich der lokalen Polynominterpolation
Das Werkzeug "Globale Polynominterpolation" ist zum Erstellen von glatten Oberflächen und Identifizieren von Langzeittrends im Dataset geeignet. In Geowissenschaften hat die betrachtete Variable zusätzlich zum Langzeittrend in der Regel auch eine Nahbereichsvariation. Wenn das Dataset eine Nahbereichsvariation enthält, dann kann mit dem Werkzeug "Lokale Polynominterpolation" diese Nahbereichsvariation erfasst werden.
Die lokale Polynominterpolation reagiert sensibel auf die Nachbarschaftsentfernung, und eine kleine Suchnachbarschaft kann zu leeren Flächen in der vorhergesagten Oberfläche führen. Aus diesem Grund können Sie eine Vorschau der Oberfläche anzeigen, bevor der Ausgabe-Layer erstellt wird.