Qu’est-ce qu’un ajustement par les moindres carrés ?

Un ajustement par les moindres carrés utilise l’analyse statistique pour estimer les coordonnées les plus probables pour les points connectés dans un réseau de mesure. Dans ArcGIS Pro, un ajustement par les moindres carrés peut être exécuté sur un atelier parcellaire à l'aide des outils suivants :

En savoir plus sur l’exécution d'un ajustement par les moindres carrés sur l’atelier parcellaire

Ajustement par les moindres carrés et meilleure estimation des coordonnées

Les valeurs de relèvement et de distance d’un point existant peuvent permettre de calculer les coordonnées d’un nouveau point. Toutefois, compter uniquement sur les résultats d’un simple jeu de coordonnées présente certains risques puisqu’il n’existe aucun moyen de dire si les mesures définissant ces coordonnées sont correctes. Les coordonnées déduites des mesures d’autres points peuvent être comparées avec les coordonnées calculées par le premier de jeu de mesures. En général, plus il y a de mesures définissant un seul point, plus ses coordonnées sont fiables et la confiance concernant la détection des mesures erronées est élevée. Ces mesures supplémentaires sont dites redondantes.

Toutes les mesures sont sujettes à un certain niveau d’erreur. Les mesures redondantes calculent des coordonnées légèrement différentes pour le même point. Comme il ne peut y avoir qu’un seul emplacement possible pour un point, la meilleure estimation des coordonnées pour le point peut être déterminée en calculant une moyenne pondérée des mesures redondantes, chaque pondération étant définie par la précision de mesure. Plus la mesure est précise, plus sa pondération sera importante et plus elle aura d’influence lors du calcul de la meilleure estimation des coordonnées pour le point.

Mesures pondérées

Les coordonnées du point Sp5 sont calculées à l’aide d’une moyenne pondérée.

Bien que l’approche de la moyenne pondérée fonctionne pour calculer un point unique, elle ne permet pas de calculer les coordonnées de plusieurs points dans un réseau tel que l’atelier parcellaire. Les techniques et algorithmes d’un ajustement par les moindres carrés fournissent la solution la plus rigoureuse et la plus largement acceptée pour calculer les coordonnées dans un réseau de mesures pondérées.

Pour résumer, un ajustement par les moindres carrés fonctionne comme suit :

  • Il détermine la meilleure solution possible d’un point de vue statistique pour les coordonnées de points dans un réseau de mesures pondérées
  • Il calcule une solution en trouvant un minimum pour la somme des carrés des mesures résiduelles. Une mesure résiduelle correspond à la grandeur requise pour corriger une mesure afin de l’intégrer à la solution la mieux adaptée.
  • Il se fonde sur une procédure mathématique basée sur la théorie de probabilité ; les coordonnées estimées sont calculées avec différents degrés d’incertitude.
  • Il inclut des tests statistiques pour analyser et confirmer les résultats de l’ajustement.

Ajustement par contrainte et ajustement réseau libre

Il existe de nombreux types d’ajustements par les moindres carrés. L’atelier parcellaire peut être ajusté à la fois par des ajustements par les moindres carrés par réseau libre et par contrainte.

Ajustement par contrainte

Un ajustement des moindres carrés par contrainte est exécuté sur un réseau de mesure contraint par des points de contrôle. Les points de contrôle ont des coordonnées x,y,z connues et peuvent être entièrement contraints (ne se déplacent pas dans l’ajustement) ou pondérés (certains déplacements sont autorisés en fonction de la précision). Les points de contrôle représentent les coordonnées relevées précises pour les entités physiques sur la surface de la Terre. Les points de contrôle sont ajoutés à un réseau de mesures en vue d’intégrer le réseau à un système de coordonnées et de détecter les erreurs de mesure (appelées communément erreurs).

En savoir plus sur les points dans l’ajustement par les moindres carrés

Ajustement réseau libre

Ce type d’ajustement s’applique uniquement aux mesures et le réseau n’est pas contraint par des points de contrôle. Un ajustement par réseau libre est exécuté pour rechercher sur le réseau d'éventuelles erreurs de mesure avant d'associer les mesures aux points de contrôle.

En savoir plus sur l’ajustement par contrainte et l’ajustement réseau libre