Fonctionnement de l’outil Centile de surface multi-échelle

Disponible avec une licence Spatial Analyst.

L’analyse de la topographie et d’autres surfaces constitue une part importante de nombreuses disciplines, allant de l’hydrologie à l’écologie. Les résultats de ces analyses dépendent souvent de la résolution spatiale des données ou des calculs pour une caractéristique topographique en particulier. Cette dépendance a généré une généralisation de l’approche multi-échelle des analyses, où les calculs sont réalisés pour plusieurs résolutions spatiales. Ces approches multi-échelle peuvent servir à déterminer l’échelle optimale pour caractériser une topographie et mesurer la façon dont les paramètres réagissent aux changements d’échelle.

L’outil Centile de surface multi-échelle calcule le centile le plus extrême sur une plage d’échelles spatiales (voisinages dont la taille varie). Le centile le plus éloigné de 50 (par exemple, les valeurs les plus proches de 0 ou de 100) est considéré comme la valeur la plus extrême pour une cellule donnée. Les sorties de cet outil identifient ce centile pour une cellule et l’échelle à laquelle il se trouve.

Les sorties peuvent servir à interpréter une entité sur un raster de surface en entrée et les échelles associées. L’exemple ci-dessous montre les résultats de deux échelles différentes pour la même surface. La première image (gauche) a utilisé une échelle de 29 cellules par 29 cellules, tandis que la deuxième image (droite) a utilisé une échelle de 49 cellules par 49 cellules. Ici, l’échelle inférieure est plus sensible aux variations locales dans le paysage et capture des entités de surface plus petites. De l’autre côté, l’échelle supérieure montre moins de détails en capturant uniquement les entités de surface de plus grande taille.

Un centile en sortie à la même étendue est illustré pour deux échelles différentes : une petite échelle (deuxième image) et une plus grande échelle (troisième image).

Mode de calcul de la valeur du centile le plus extrême

Les étapes suivantes fournissent une vue d’ensemble des processus internes utilisés par l’outil :

1. Pour l’analyse, les échelles sont définies à l’aide des paramètres Distance de voisinage minimale, Distance de voisinage maximale, Incrément de distance de base et Facteur de non-linéarité. Les unités de ces paramètres sont déterminées par le paramètre Unités de distance.
2. Pour chaque cellule, un centile est calculé à chaque échelle identifiée.
3. Les centiles calculés sont comparés sur les différentes échelles. Le centile le plus éloigné de 50 est considéré comme le centile le plus extrême pour une cellule donnée.

Chacune de ces étapes est expliquée plus en détails dans les sections ci-dessous.

Mode d’identification des échelles à analyser

Pour l’analyse, les échelles sont déterminées à l’aide des paramètres facultatifs de l’outil Centile de surface multi-échelle. Les paramètres Distance de voisinage minimale et Distance de voisinage maximale définissent les échelles minimale et maximale de l’analyse. Les paramètres Incrément de distance de base et Facteur de non-linéarité déterminent l’augmentation de la distance de voisinage entre la valeur minimale et la valeur maximale.

Chaque échelle est représentée par une valeur de distance de voisinage. L’analyse est effectuée pour plusieurs distances de voisinage en fonction des paramètres en entrée.

Pour une cellule cible donnée, la distance de voisinage est mesurée à partir du centre de la cellule cible vers l’extérieur, ce qui crée un carré de cellules autour de la cellule cible. Par exemple, une distance de voisinage de 30 mètres pour un raster de surface en entrée avec une taille de cellule de 10 mètres génère un voisinage de 7 cellules par 7 cellules, comme l’illustre la figure ci-dessous. Cette valeur, 30 mètres, correspond à l’une des échelles pour lesquelles le centile le plus extrême est calculé.

La relation entre la distance du voisinage (ligne orange) et le nombre de pixels de la fenêtre mobile est présentée. Pour une taille de cellule de 10 mètres, une distance de voisinage de 10 mètres utilisera une fenêtre de 3 cellules par 3 (il s’agit de la valeur par défaut), une distance de voisinage de 20 mètres utilisera une fenêtre de 5 cellules par 5 et une distance de voisinage de 30 mètres utilisera une fenêtre de 7 cellules par 7.

La plus petite distance de voisinage autorisée est égale à la taille de cellule du raster en entrée. Il s’agit d’une valeur de 1 cellule, qui crée un voisinage de cellules de 3 par 3. Dans l’exemple ci-dessus, cette distance de voisinage minimale est de 5 mètres.

La distance de voisinage ne peut pas être supérieure au raster de surface en entrée.

Si une distance de voisinage qui ne génère pas un intervalle de la taille de cellule est spécifiée, l’outil l’arrondit à l’intervalle supérieur suivant de la taille de cellule. Par exemple, dans l’illustration ci-dessus, si une distance de voisinage de 25 mètres est spécifiée, elle est arrondie à l’intervalle supérieur suivant de la taille de cellule, à savoir 30 mètres.

Les calculs débutent avec la valeur du paramètre Distance de voisinage minimale. Ensuite, chaque distance de voisinage suivante est calculée.

Voici l’expression à utiliser pour calculer les distances de voisinage suivantes :

ni = no + [Δn × (i - no)]p

• Où :

  n_i = Distance de voisinage pour l’étape i

  n_o = Distance de voisinage minimale

  Δn = Incrément de distance de base

  i = L’étape pour laquelle la distance de voisinage est calculée (où la 1ère étape a la valeur 1 + n_o)

  p = Facteur de non-linéarité

Chaque nouvelle distance de voisinage identifiée est vérifiée afin de déterminer si elle est inférieure ou égale à la valeur du paramètre Distance de voisinage maximale. Si la nouvelle valeur de distance est inférieure ou égale à la valeur maximale, les calculs de la distance de voisinage se poursuivent. Si la nouvelle valeur est supérieure à la valeur maximale, toutes les distances de voisinage ont été identifiées et les calculs du centile débutent.

Consultez la section Mode de calcul du centile ci-dessous pour en savoir plus sur cette partie de l’analyse.

Impact du facteur de non-linéarité sur les distances de voisinage

Le paramètre Facteur de non-linéarité gère le raster d’augmentation de la distance de voisinage. La valeur par défaut est définie sur 1, ce qui génère une augmentation linéaire de la distance de voisinage. Cela signifie que les incréments entre les distances de voisinage sont égaux à la valeur du paramètre Incrément de distance de base.

Lorsque la valeur du paramètre Facteur de non-linéarité dépasse 1, les incréments entre les distances de voisinage changent après le premier. Le premier incrément est égal à la valeur Incrément de distance de base, mais tous les incréments suivants augmentent progressivement de taille.

Lorsque la valeur du paramètre Facteur de non-linéarité est définie sur des valeurs supérieures à 1, l’incrément dans la distance entre les distances de voisinage après le premier augmente progressivement. Autre conséquence : pour les mêmes valeurs de voisinage minimale et maximale, un facteur de non-linéarité supérieur entraîne dans l’ensemble un nombre réduit de distances de voisinage.

La figure ci-dessous illustre l’effet de trois réglages différents du paramètre Facteur de non-linéarité. Dans cet exemple, les paramètres sont 1,0, 1,5 et 2,0. Pour chacun de ces paramètres, les valeurs des autres paramètres restent identiques. La valeur du paramètre Distance de voisinage minimale est égale à 1, la valeur du paramètre Distance de voisinage maximale est de 10 et la valeur Incrément de distance de base est de 1.

Pour le premier incrément, la distance de voisinage des trois paramètres du facteur de non-linéarité est la même valeur, c’est-à-dire 2 cellules. Ensuite, les valeurs de la distance de voisinage commencent à varier. Les incréments augmentent progressivement pour un facteur de non-linéarité de 1,5 et encore plus pour un facteur de 2,0.

Lorsque la valeur du paramètre Facteur de non-linéarité est égale à 1,0, le nombre total d’incréments est de 9 et chaque incrément est de taille plus importante que le précédent, de façon linéaire. Avec un facteur d’une valeur de 1,5, on ne compte que 4 incréments, et 3 incréments pour une valeur de 2,0.

L’augmentation du facteur de non-linéarité au-dessus de 1.0 entraîne l’augmentation progressive des tailles d’incrément et par conséquent, l’augmentation plus rapide des distances de voisinage. Cela a également pour effet de réduire le nombre d’échelles pour la même valeur Distance de voisinage minimale et Distance de voisinage maximale lorsqu’une valeur Facteur de non-linéarité plus importante est utilisée.

Le paramètre Facteur de non-linéarité vous permet de personnaliser la densité d’échantillonnage des échelles. Pour une surface d’élévation, un centile d’élévation est souvent plus sensible à la taille de voisinage à de plus petites échelles et moins sensible à de plus grandes échelles. Une valeur de paramètre Facteur de non-linéarité supérieure à 1,0 permet d’augmenter la densité d’échantillonnage pour les plus petites échelles et de la réduire pour les plus grandes échelles. Vous pouvez toutefois, dans ce cas, être amené à augmenter la valeur du paramètre Distance de voisinage maximale pour obtenir le nombre voulu d’incréments. Dans la plupart des cas, une valeur comprise entre 1,0 et 2,0 est utilisée pour le facteur de non-linéarité.

Mode de calcul du centile

Les centiles sont une mesure statistique qui indique le pourcentage de valeurs dans un jeu de données qui sont inférieures à une valeur donnée. Par exemple, le 80^e centile est une valeur dans laquelle vous trouverez que 80 % des valeurs dans le jeu de données sont inférieures, tandis que les 20 % restantes sont supérieures.

Pour chaque distance de voisinage identifiée pour le calcul et chaque cellule du raster de surface en entrée, l’outil Centile de surface multi-échelle calcule le centile. Les valeurs de centile les plus extrêmes sont identifiées et enregistrées dans la valeur du paramètre Raster de centile en sortie. Les échelles auxquelles ces centiles ont été trouvés sont enregistrées comme valeurs de cellule dans le paramètre Raster d’échelle en sortie.

L’équation permettant de calculer le centile pour chaque cellule est la suivante :

Centile = totali ∈C(zi < z0) × (100/nC)

• Où :

  C = Voisinage identifié pour le traitement

  total_{i ∈C} = Nombre de cellules dans le voisinage C où (z_i<z₀) est vrai

  z_i = Valeur de la cellule i dans le voisinage C

  z₀ = Valeur de la cellule centrale du voisinage C

  n_C = Nombre de cellules contenues dans le voisinage C

Voici une illustration d’exemple de ce calcul avec un voisinage de 3 cellules par 3.

L’échelle est de 3 cellules par 3 cellules et comporte 9 cellules au total. Sur la gauche, la valeur de la cellule de traitement et les 8 valeurs de cellule environnantes (en gris) sont identifiées. Sur la droite, les cellules dont les valeurs sont inférieures à celle de la cellule centrale (en vert) et les valeurs qui sont égales ou supérieures à la cellule centrale (en brun) sont affichées.

L’application de la formule indiquée ci-dessous à cet exemple donne le résultat suivant :

Centile = (Total des valeurs de cellule inférieures à la valeur de la cellule centrale) * 100 / (Total des cellules dans le voisinage) = 5 * 100 / 9 = 55.5556

Cette approche tire parti de l’algorithme de filtrage de Huang et al. (1979) pour regrouper les valeurs de centile si nécessaire. Si une valeur de centile est trouvée, elle est comparée au centile le plus extrême précédemment identifié. Si la nouvelle valeur est plus extrême, avec un centile plus éloigné de 50, elle est enregistrée pour cette localisation dans la valeur du paramètre Raster de centile en sortie. La valeur d’échelle est enregistrée dans le paramètre Raster d’échelle en sortie.

Utiliser un GPU

Cet outil propose des performances accrues si un certain matériel GPU est installé sur votre système. Reportez-vous à la rubrique Traitement GPU avec Spatial Analyst pour en savoir plus sur la prise en charge, la configuration et l’activation de cette fonctionnalité.

Bibliographie

Huang, Thomas S., G. Yang et G. Tang. 1979. "A fast two-dimensional median filtering algorithm." IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing Volume 27, Issue 1. pp.13–18. https://doi.org/10.1109/TASSP.1979.1163188

Newman, Daniel R., John B. Lindsay et Jaclyn Mary Helen Cockburn. 2018. "Evaluating metrics of local topographic position for multiscale geomorphometric analysis." Geomorphology 312, 40–50. https://doi.org/10.1016/j.geomorph.2018.04.003