Стандартный способ измерения тренда для набора точечных или полигональных объектов – расчет стандартного расстояния отдельно по осям X, Y и Z. Эти две величины определяют оси эллипса (или эллипсоида), отражающего распределение объектов. Такой эллипс носит название эллипса стандартных отклонений, т.к. метод рассчитывает стандартные отклонения х и у координат от среднего центра, чтобы определить оси эллипса. В 3D также вычисляются стандартные отклонения z-координат от среднего центра, а результат вычисления носит название эллипсоида стандартных отклонений. Эллипс или эллипсоид позволяет вам увидеть, вытянуто ли распределение объектов и отсюда определить точную ориентацию.
Несмотря на то, что вы можете иметь представление об ориентации путем рисования объектов на карте, расчет эллипса стандартных отклонения делает тренд более явным. Вы можете рассчитать эллипс стандартных отклонений, используя или местоположение объектов или местоположения, на которых оказывают влияние значения атрибутов, связанных с объектами. Последнее относится к взвешенному эллипсу стандартных отклонений.
Вычисления
Эллипс стандартных отклонений определяется как:
Где x и y – координаты объекта i, {x̄, ȳ} соответствуют Среднему центру объектов, а n- общее их число.
Приведенная ковариационная матрица учитывается в стандартной форме, что приводит к тому, что матрица представлена ее собственными значениями и собственными векторами. Тогда стандартные отклонения для осей x и y:
Эти уравнения можно расширить для трехмерных данных.
Вариации масштабируются с помощью уточняющего коэффициента для создания эллипса или эллипсоида, содержащего необходимый процент точек с данными. Уточняющие коэффициенты приведены в расположенной ниже таблице.
| Одномерные данные | Двухмерные данные | Трехмерные данные | |
|---|---|---|---|
1 среднеквадратическое отклонение | 1.00 | 1.41 | 1.73 |
2 стандартных отклонений | 2.00 | 2.83 | 3.46 |
3 стандартных отклонений | 3.00 | 4.24 | 5.20 |
Для получения подробной информации о собственных значениях и собственных векторах обратитесь к Дополнительным источникам.
Результат и Пояснения
С помощью стандартных отклонений вы сможете оценить дисперсию, т.е. размах ваших данных. При работе с одномерными данными правило трех сигм – стандартно применяемое правило для выражения процента значений, попадающих в пределы одного, двух или трех стандартных отклонений от среднего. В случае нормального распределения это значит, что 68%, 95% и 99.7% значений попадают, соответственно, в пределы одного, двух и трех стандартных отклонений. Однако при работе с многомерными пространственными данными (переменные x, y и z) такое соотношение процентов значений встречается редко. Более практически применимое правило, полученное из распределения Рэлея, предполагает, что эллипс одного стандартного отклонения покрывает приблизительно 63% объектов, двух стандартных отклонений – 98% объектов, а трех – 99.9% объектов в двух измерениях (x и y). Аналогично, для трехмерных данных (x, y и z) будет применяться правило 61-99-100 процентов.
Для двухмерных данных инструментНаправленное распределение (Эллипс стандартного отклонения) создает новый класс объектов, содержащий эллиптический полигон с центром в среднем центре всех объектов (или всех комбинаций объектов, если указано Поле комбинаций). Атрибутивные значения для этих выходных полигонов включают 2 стандартных расстояния (длинная и короткая оси); ориентация эллипса и поле комбинаций, если оно указано. Ориентация представляет собой поворот длинной оси, измеряемой по часовой стрелке. Вы также можете указать количество стандартных отклонений (1,2 или 3).
Для трехмерных точечных данных (если для ваших данных включена координата z и имеется 3D-атрибут, например, высота) инструментом создается новый класс объектов, содержащий мультипатч-эллипсоид с центром в среднем центре всех объектов (либо всех комбинаций – если задано значение в Поле комбинаций). Значения атрибутов для этих выходных эллипсоидов включают три стандартных расстояния (большая, малая ось и ось высоты), угол, наклон и поворот эллипсоида и, дополнительно, поле комбинаций. Значения угла, наклона и поворота эллипсоида – это Углы Эйлера, описывающие ориентацию эллипсоида в 3D-пространстве. Вы также можете указать количество стандартных отклонений (1,2 или 3).
Возможное применение
- Картографирование трендов распределения для набора преступлений может определить взаимосвязь с конкретными физическими процессами (линии с барами и ресторанами, конкретный проспект и т.д.).
- Картографирование подземных колодцев для определенного загрязнителя может быть индикатором распространения токсинов, и соответственно, может быть полезно для принятия смягчающих стратегий.
- Сравнивая размер, форму и перекрытие эллипсов для различных расовых и этнических групп, можно получить дополнительную информацию о расовой или этнической сегрегации.
- Вычерчивание эллипсов для вспышек заболеваний во времени может быть использовано для моделирования его распространения.
- Проверка распределения высот для штормов определенной категории – важный момент для изучения влияния состояния атмосферы на авиационные происшествия.
Дополнительные ресурсы
Chew, Victor. "Точные, прогнозируемые и возможные области для многовариантного нормального распределения." Журнал Американской ассоциации статистики 61.315 (1966): 605–617.
Fisher, N. I., T. Lewis, and B. J. J. Embleton. Статистический анализ сферических данных. 1st ed. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского Университета, 1987. Cambridge Books Online. Web. 26 April 2016.
Levine, Ned. "CrimeStat III: программа пространственной статистики для анализа мест совершений преступлений (версия 3.0)." Houston (TX): Ned Levine & Associates/Washington, DC: National Institute of Justice (2004).
Mitchell, Andy. The ESRI Guide to GIS Analysis, Volume 2. ESRI Press, 2005.
Wang, Bin, Wenzhong Shi, and Zelang Miao. (2015) Вероятностный анализ эллипса стандартных отклонений и его расширение в многомерное евклидово пространство. PLoS ONE 10(3), e0118537.