Semivariogramm- und Kovarianzfunktionen

Mit der Geostatistical Analyst-Lizenz verfügbar.

Mit den Semivariogramm- und Kovarianzfunktionen wird die Annahme quantifiziert, dass Dinge in der Nähe einander tendenziell ähnlicher sind als Dinge in größerer Entfernung. Semivariogramm- und Kovarianzfunktionen messen beide die Stärke einer statistischen Korrelation als Funktion der Entfernung.

Der Prozess der Modellierung von Semivariogrammen und Kovarianzfunktionen passt eine Semivariogramm- oder Kovarianz-Kurve an Ihre empirischen Daten an. Das Ziel ist es, die beste Anpassung zu erreichen und außerdem Ihre Kenntnisse über das Phänomen in das Modell einzubeziehen. Das Modell wird dann für Ihre Vorhersagen verwendet.

Suchen Sie beim Anpassen eines Modells nach unidirektionaler Autokorrelation in Ihren Daten. Schwellenwert, Bereich und Nugget sind wichtige Merkmale des Modells. Wenn es Messfehler in den Daten gibt, dann verwenden Sie ein Messfehlermodell. Folgen Sie diesem Link für weitere Informationen zum Anpassen eines Modells an das empirische Semivariogramm.

Semivariogramm

Das Semivariogramm wird definiert als:

γ(si,sj) = ½ var(Z(si) - Z(sj)),

wobei var die Varianz ist.

Wenn sich zwei Positionen, s_i und s_j, im Sinne der Entfernungsmessung von d(s_i, s_j) nah beieinander befinden, erwarten Sie, dass sie ähnlich sind, daher wird der Unterschied in ihren Werten, Z(s_i) - Z(s_j), klein sein. Je weiter s_i und s_j auseinander liegen, desto weniger ähnlich sind sie sich, daher wird der Unterschied in ihren Werten, Z(s_i) - Z(s_j), größer. Das kann in der folgenden Abbildung gesehen werden, in der die Anatomie eines typischen Semivariogramms angezeigt wird.

Beachten Sie, dass die Varianz der Differenz mit der Entfernung zunimmt, daher kann das Semivariogramm als eine Funktion der Unähnlichkeit betrachtet werden. Es gibt mehrere Begriffe, die häufig mit dieser Funktion assoziiert werden, und sie werden auch in Geostatistical Analyst verwendet. Die Höhe, die das Semivariogramm erreicht, wenn es abflacht, wird als Schwellenwert (sill) bezeichnet. Sie ist häufig aus zwei Teilen zusammengesetzt: eine Diskontinuität am Ursprung, die als Nugget-Effekt bezeichnet wird, und der Partial Sill, die zusammen genommen den Schwellenwert ergeben. Der Nugget-Effekt kann weiter in Messfehler und Mikroabweichungen aufgeteilt werden. Der Nugget-Effekt ist einfach die Summe von dem Messfehler und der Mikroabweichung und, da beide Komponenten Null sein können, kann der Nugget-Effekt ganz aus dem einen oder anderen bestehen. Die Entfernung, an der das Semivariogramm auf den Schwellenwert abflacht, wird als Bereich (Range) bezeichnet.

Weitere Informationen zu Semivariogrammen, Bereich, Schwellenwert und Nugget

Kovarianzfunktion

Die Kovarianzfunktion wird definiert als:

C(si, sj) = cov(Z(si), Z(sj)),

wobei cov die Kovarianz ist.

Die Kovarianz ist eine skalierte Version der Korrelation. Wenn sich also zwei Positionen, s_i and s_j, nah beieinander befinden, dann erwarten Sie, dass diese ähnlich sind und ihre Kovarianz (eine Korrelation) groß ist. Je weiter sich s_i und s_j voneinander entfernen, desto unähnlicher werden sie und ihre Kovarianz geht gegen Null. Das kann in der folgenden Abbildung gesehen werden, in der die Anatomie einer typischen Kovarianzfunktion angezeigt wird.

Beachten Sie, dass die Kovarianzfunktion mit der Entfernung abnimmt, daher kann sie als Funktion der Ähnlichkeit betrachtet werden.

Beziehung zwischen dem Semivariogramm und der Kovarianzfunktion

Es gibt eine Beziehung zwischen dem Semivariogramm und der Kovarianzfunktion:

γ(si, sj) = sill - C(si, sj),

Diese Beziehung kann in den Abbildungen erkannt werden. Aufgrund dieser Äquivalenz können Sie Vorhersagen in Geostatistical Analyst unter Verwendung von beiden Funktionen treffen. (Alle Semivariogramme in Geostatistical Analyst haben Schwellenwerte.)

Semivariogramme und Kovarianzen können nicht einfach irgendeine Funktion sein. Für die Vorhersagen zum Erhalten nicht negativer Kriging-Standardfehler können nur manche Funktionen als Semivariogramme und Kovarianzen verwendet werden. Geostatistical Analyst bietet mehrere zulässige Auswahlmöglichkeiten, und Sie können verschiedene für Ihre Daten ausprobieren. Sie können auch Modelle haben, die durch das Zusammenfügen mehrerer Modelle entstehen – diese Zusammensetzung liefert gültige Modelle, und Sie können bis zu vier Modelle in Geostatistical Analyst hinzufügen. Es gibt einige Fälle, in denen Semivariogramme existieren, aber Kovarianzfunktionen nicht. Zum Beispiel gibt es ein lineares Semivariogramm, aber es hat keinen Schwellenwert, und es gibt keine entsprechende Kovarianzfunktion. Nur Modelle mit Schwellenwerten werden in Geostatistical Analyst verwendet. Es gibt keine festen Regeln für das Auswählen des "besten" Semivariogramm-Modells. Sie können sich Ihr empirisches Semivariogramm oder die Kovarianzfunktion ansehen und ein Modell auswählen, das passend aussieht. Sie können auch die Validierung und Kreuzvalidierung zur Orientierung verwenden.